连续信号与系统的频域分析

摘要

拉普拉斯变换（Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

《信号与系统》电子教案

第3章

连续信号与系统的频域分析

3.1 引言 3.2 信号分解为正交函数组合 周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数 非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换 3.5 付里叶变换的性质 3.6 傅里叶变换的应用

《信号与系统》电子教案

3.1

引言

分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 在第2章里读者已经看到， 在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数 或冲激函数的线性组合。在时域分析中， 或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信 号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状 把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和， 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。 基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外， 基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃 信号 ε (t ) ,单位三角函数 sin ωt 和 cos ωt 拉公式可表示为 行分解。 行分解。下一页 返回e jωt = cos ω t +

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第3章

连续信号与系统的频域分析

3.1 引言 3.2 信号分解为正交函数组合 周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数 非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换 3.5 付里叶变换的性质 3.6 傅里叶变换的应用

《信号与系统》电子教案

3.1

引言

分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 在第2章里读者已经看到， 在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数 或冲激函数的线性组合。在时域分析中， 或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信 号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状 把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和， 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。 基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外， 基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃 信号 ε (t ) ,单位三角函数 sin ωt 和 cos ωt 拉公式可表示为 行分解。 行分解。下一页 返回e jωt = cos ω t +

《信号与系统》课程研究性学习手册

信号的频域分析专题研讨

【目的】

(1) 建立工程应用中有效带宽的概念，了解有限次谐波合成信号及吉伯斯现象。

(2) 掌握带限信号，带通信号、未知信号等不同特性的连续时间信号的抽样，以及抽样过程中的参数选择与确定。认识混叠误差，以及减小混叠误差的措施。

(3) 加深对信号频域分析基本原理和方法的理解。

(4) 锻炼学生综合利用所学理论和技术，分析与解决实际问题的能力。 【研讨内容】——基础题 题目1：吉伯斯现象 (1)以(C02?2?n?1Cn)/P?0.90定义信号的有效带宽，试确定下图所示信号的有效带宽N?0，

N2取A=1，T=2。

(2)画出有效带宽内有限项谐波合成的近似波形，并对结果加以讨论和比较。 (3)增加谐波的项数，观察其合成的近似波形，并对结果加以讨论和比较。

x(t)A/2tAx(t)?T0?T0/2?A/2T0/2T0?T0T0/2T0t(a) 周期矩形信号 (b) 周期三角波信号

【知识点】

连续周期信号的频域分析，有效带宽，吉伯斯现象

【信号频谱及有效带宽计算】

（a） 周期矩形信号

利用连续Fourier级数的时移特性，以

第三章 连续时间信号与系统的频域分析

3.1 信号的正交分解

3.1.1 正交函数集

3.1.2 信号的正交分解与最小均方误差

3.2 周期信号的傅里叶级数分析

图3.1 周期信号

2

信号与系统

图3.2 由持续时间为一个周期的信号作周期性的延拓而形成的周期信号

3.2.1 傅里叶级数的三角函数形式 3.2.2 傅里叶级数的指数形式

信号与系统

3

3.2.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系

图3.3 偶函数

图3.4 奇函数

图3.5 奇谐函数

图3.6 方波信号示意图

4

信号与系统

图3.7 奇对称周期信号

图3.8 周期矩形脉冲信号

3.3 周期信号的频谱

3.3.1 周期信号频谱的特点

图3.9 周期信号的频谱

信号与系统

5

图3.10 信号f（t）的单边幅度谱和相位谱图

3.3.2 周期矩形脉冲的频谱

图3.11 周期性矩形脉冲示意图

图3.12 取样（抽样）函数波形图

6

信号与系统

图3.13 周期矩形脉冲的频谱图

图3.14 周期矩形脉冲的幅度谱和相位谱图

图3.15 脉冲宽度与频谱的关系

信号与系统

7

图3.16 周期与频谱的关系

3.3.3 周期信号的功率

第六章 习题

6.1 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．若L[f(t)]?F(s),则L[f(t?t0)]?e?stF(s) （ ）

02．L

?1?e?s??sin(t?1) （ ） ?2??1?s?1s(s?1)3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。（ ） 4．若已知系统函数H(s)?，激励信号为x(t)?e?2tu(t)，则系统的自由

响应中必包含稳态响应分量。 （ ） 5．强迫响应一定是稳态响应。 （ ） 6．系统函数与激励信号无关 （ ）

?6.2 求L[2???e?(?)d?]

t

6.3 已知系统函数的极点为p1=0，p2=-1，零点为z1=1，如该系统的冲激响应的终值为-10，求此系统的系统函数H（s）。

6.4 对于题图所示的RC电路，若起始储能为零，以x（t）作为激励，

实验三 连续信号的频域分析

一、 实验目的

1. 2.

掌握周期信号的频谱—— Fourier 级数的分析方法及其物理意义。

深入理解信号频谱的概念，掌握典型信号的频谱以及 Fourier 变换的主要性质。

二、 实验内容及步骤

。

T482） 求图3-6所示的单个三角脉冲（??1）的傅里叶变换，并作出其幅度谱和相位谱。 1）求不同占空比下周期矩形脉冲的幅度谱和相位谱，例如

??1、

110.80.60.40.20-6f(t)-4-20246t

图3-6 单个三角脉冲

四、实验报告要求

1. 2.

1）求不同占空比下周期矩形脉冲的幅度谱和相位谱，例如代码

t=-8:0.01:8; y=square(2*pi*t,25); T=0.01; dw=1

w=-10*pi:dw:10*pi; F=y*exp(-j*t'*w)*T;

F1=abs(F); %计算幅度谱 phaF=angle(F); %计算相位谱 subplot(3,2,1) plot(t,y); grid on; xlabel('t')

ylabel('y')

title('占空比为1/4的周期矩形脉冲的波形图') subplot(3,

第六章 习题

6.1 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．若L[f(t)]?F(s),则L[f(t?t0)]?e?stF(s) （ ）

02．L

?1?e?s??sin(t?1) （ ） ?2??1?s?1s(s?1)3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。（ ） 4．若已知系统函数H(s)?，激励信号为x(t)?e?2tu(t)，则系统的自由

响应中必包含稳态响应分量。 （ ） 5．强迫响应一定是稳态响应。 （ ） 6．系统函数与激励信号无关 （ ）

?6.2 求L[2???e?(?)d?]

t

6.3 已知系统函数的极点为p1=0，p2=-1，零点为z1=1，如该系统的冲激响应的终值为-10，求此系统的系统函数H（s）。

6.4 对于题图所示的RC电路，若起始储能为零，以x（t）作为激励，

郑州轻工业学院

课程设计说明书

题目：基于MATLAB的连续时间信号的频域分析

姓 名：

院 （系）： 电气信息工程学院 专业班级： 电子信息工程11-1 学 号：

指导教师：

成 绩：

时间： 2014 年 6 月 9 日至 2014 年 6 月 13 日

郑州轻工业学院 课 程 设 计 任 务 书

题目 基于MATLAB的连续时间信号的频域分析 专业、班级 电子信息工程班 学号 姓名 主要内容、基本要求、主要参考资料等： 主要内容：

利用MATLAB的图形处理功能、符号运算功能和数值计算功能，实现对连续时间信号的频域分析的MATLAB仿真，并绘制相应的信号频谱。

基本要求：

1、利用MATLAB绘制单位冲激信号、单位阶跃信号、实指数信号、正弦信号、非周期矩形脉冲信号和非周期三角波脉冲信号的频谱，并进行相应的频域分析。

2、利用MATLAB绘制周期方波信号、周期锯齿波信号和周期三角波信

实验三 连续时间信号的频域分析

一、实验目的：

1、掌握采用matlab求解连续时间周期信号的Fourier级数表达式的方法； 2、掌握采用matlab求解连续时间非周期信号傅立叶变换的方法； 3、掌握利用MATLAB求解连续时间信号的频谱图的方法。 4、掌握利用MATLAB求解连续时间信号的能量谱的方法。 二、实验原理：

1、matlab相关内容参考《matlab上机实验指导书》。

2、连续时间周期的傅立叶级数、连续非周期信号的傅立叶变换等内容请参

考教材第四章。

3、连续非周期信号的傅立叶变换

信号f(t)的傅里叶变换定义为

? F(j?)?F[f(t)]??f(t)e?j?tdt （3.1）

??傅里叶反变换定义为

f(t)?F?1[F(j?)]?12?????F(j?)ej?td? （3.2）

下面介绍MATLAB符号运算求解傅立叶变换的方法。

MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换和傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。傅里叶变换的语句格式分为三种。

（1） F