数学分析考研讲义

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

第十三章 函数列与函数项级数

§1 一致收敛性

教学目标：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议：

(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学过程：

我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。

高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿

一、 函数

函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。

问题1 试证不存在?1上的连续函数f，使得f在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。

证 若不然，则存在a,b??，使得f(a)?[a,b]上的最大值和最小值分别为Mf(b)?L且a?b。设f(x)在

和m。若f在[a,b]上取常值，则f在

?L无理数集上不是一一映射。于是Ma?c?b或m?L。不妨设L?M?f(c)，

，则由f(?)可数、开区间(L,M)不可数知(L,M)?f(?)??。

任取某个h?(L,M)?f(?)，分别在?a,c?和?c,b?上应用介值性定理

必有s和t使得a?s?c?t?b且f(s)?t都是无理数，这与f因h?(f(t)?h。LM,)f?()?，故s和

在无理数集上是一一映射矛盾。

问题2 若一族开区间{I?|???}覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一个正数??0，使得[0,1]中的任意两点x1,x2满足x1?x2??时，

x1,x2必属于某个开区间I??{I?}。

证 不妨设每个开区间都是有限区间。

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准

科目代码： 636 科目名称： 数学分析

一、（20分）解答以下三个小题：

（1）用分析定义证明：如果limxn?0，则limn??n??x1?x2???xn?0.（13分）

n（2）如果limn??x1?x2???xn?0，是否一定有limxn?0？为什么？（3分）

n??n1?1?1???123n.（4分） （3）计算极限limn??n证：（1）∵limxn?0，∴???0,?N?N?，?n?N：xn??n??2. …… 2分

利用三角不等式，得

x1?x2???xnx?x???xNx?xN?2???xn?12?N?1 …… 5分

nnn而limn??x1?x2???xN?0（∵x1?x2???xN?c常数） …… 7分

nx1?x2???xN??. …… 9分

n2对上述的??0，?N1?N?，n?N1：

xN?1?xN?2???xn?n?N????. …… 11分

nn22?取N??max?N,N1?，则

上海大学2000年度研究生入学考试试题

数学分析

1、 设

yn?x1?2x2??nxna，若limxn?a，证明：（1）当a为有限数时，limyn?；

n??n??2n(n?1)n??（2）当a???时，limyn???.

2、设f(x)在?0,1?上有二阶导数（端点分别指左、右导数），f(0)?f(1)?0，且

minf(x)?? 11?0,?证明：maxf??(x)?8

?0,1?p?1, 当x= (q?0,p,q为互质整数)?3、 证明：黎曼函数R(x)??qq在?0,1?上可积.

?0,当x为无理数?4、 证明：lim?t?0tf(x)??1t2?x2dx??f(0),其中f(x)在??1,1?上连续.

1??n1??5、 设an?ln?1???1?p?，讨论级数?an的收敛性.

n??n?26、 设

???0f(x)dx收敛且f(x)在?0,???上单调，证明：limh?f(nh)???h?0n?1????0f(x)dx.

x2y27、 计算曲面x?y?z?a包含在曲面2?2?1(0?b?a)内的那部分的面积.

ab22228、 将函数f(x)?x在?0,2??上展成Fourier级数,并计算级数

sink的值. ?kk?1??上海大

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

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订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

第一章 函数

一、复习指导

（一）基本概念

1．函数的概念

2．复合函数、反函数的概念

3．有界函数、无界函数的概念，递增（严格递增）函数、递减（严格递减）函数的概念，奇函数、偶函数的概念，周期函数、基本周期的概念。

4．基本初等函数、初等函数的概念 5．邻域、空心邻域的概念

（二）基本理论

1．实数的性质； 2．函数的四则运算性质； 3．反函数存在的条件

（三）复习要求

1．掌握几个重要的等式与不等式

（1）平均值不等式（算术平均值、几何平均值、调和平均值的关系）

1a1?a12a?a2?????annnaa???a?1?12n?????a1nn2

（2）柯西—许尔瓦兹不等式

nn?n?22 代数形式：??aibi???ai??bi （注意证明方法）

i?1i?1?i?1?bbb22?? 积分形式：??f(x)g(x)dx???f(x)dx??g(x)dx （注意证明方法） aa?a?2（3）绝对值不等式：

a?b?a?b?a?b ; a1?a2?????an?a1?a2?????an??1时，?1?h?n?1?nh

（4）贝努利不等式： 当h（5）几个常用不等式

nn?1132n