角的概念的推广教案

5.1 角的概念的推广

【教学目标】

1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．

2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．

3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】

理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法． 【教学难点】

任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】

本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．

环节 复 习 导 入

1．复习初中学习过的角的定义．

2．提出新问题：

运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？

初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．

1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 新 课

逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角．

画图时，常用带箭头的弧来表示旋

转的方

1.1.1 角的概念的推广——任意角、终边相同的角、象限角

教学目标

『知识与技能』

1． 认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分； 2． 能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性； 3． 能用集合和数学符号表示象限角；

4． 能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

『过程与方法』

1. 通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用； 2. 通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的

形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重

点内容；

『情感、态度和价值观』

通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.

知识的重点

形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法

知识的难点

终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示

教学方法

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念

导学案—角的概念的推广

一、导语

函数来自现实生活，是描述现实世界变化规律的重要数学模型。三角函数的内容一直是高考的重要内容，频频在各省高考试题中出现，难度虽有降低，却是经久不衰的高考考查内容。

二、三维目标

1．通过实例的展示，理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、

零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念。

2．认识集合S中k、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍，形成科学的世界观、人生观、价值观。

3．通过类比正、负数的规定，认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用，为今后的学习与发展打下良好的基础。 三、本节重点：将0°—360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合。

本节难点：用集合来表示终边相同的角。

四、思考讨论(一)

1.初中所学角的概念

2.你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角? 3.体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?

4.请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立

1.1.1 角的概念的推广——任意角、终边相同的角、象限角

教学目标

『知识与技能』

1． 认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分； 2． 能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性； 3． 能用集合和数学符号表示象限角；

4． 能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

『过程与方法』

1. 通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用； 2. 通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的

形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重

点内容；

『情感、态度和价值观』

通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.

知识的重点

形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法

知识的难点

终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示

教学方法

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念

课 题：4.1

角的概念推广（一）

本节课我们学习正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.

讲解范例：

例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

(1)?120?

(2)640?(3)?950?12'

例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在?360?~720?间的角写出来：

⑴60? ⑵?21? ⑶363?14?。

课堂练习

1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是

锐角吗？

总结有关角的集合表示． 锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，

0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°}．

2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

(1)420°，(2)-75°，(3)855°，

高一

一．选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）

A．30° B．-30° C．630° D．-630°

2、－1120°角所在象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ） A．45°－43360°B．－45°－43360°C．－45°－53360°D．315°－53360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）

A．｛α∣90°<α<180°｝ B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝

C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝

D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝ 5、下列命题是真命题的是（ ）

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角 C．不相等的角终边一定不同 D．

??|??k?360??90?,k?Z?=??|??k?180??90?,k?Z?

6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（

A．B=A∩C B．B∪C=C C．A?C D．A=B=C

7、已知角2

高一

一．选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）

A．30° B．-30° C．630° D．-630°

2、－1120°角所在象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ） A．45°－43360°B．－45°－43360°C．－45°－53360°D．315°－53360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）

A．｛α∣90°<α<180°｝ B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝

C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝

D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝ 5、下列命题是真命题的是（ ）

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角 C．不相等的角终边一定不同 D．

??|??k?360??90?,k?Z?=??|??k?180??90?,k?Z?

6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（

A．B=A∩C B．B∪C=C C．A?C D．A=B=C

7、已知角2

4.1 角的概念的推广

第一课时

一、教学目标：

1．理解任意角的概念；

2．学会建立直角坐标系讨论任意角，掌握象限角、终边相同角的概念、意义及其表示方法。

二、教学重难点：

重点：任意角、象限角的概念

难点：象限角、终边相同角的表示方法

三、教学过程：

（一）设置情境：

1．体操、跳水、花样滑冰比赛中，“转体三周”，“转体三周半”的解说。10800 12600

2．时钟旋转

3．骑自行车

这些角显然超出了我们已有的认识范围，有必要对角的概念进行推广。

（二）新课讲解：

1．任意角的概念：

定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角 ，点O 是角的顶点，射线OA,OB分别是角 的终边、始边。（动定义）

记号： “角 ”或“ ”可以简记为“ ”。

2．角的分类：

①正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

③零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角、轴线角：

①规定：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合。 ②象限角定义：角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 例如：30 ,390 , 330 都是第一象限角；

第五章 三角函数 5.1角的概念的推广及其度量 5.1.1角的概念的推广及其度量（一）

一、选择题

1.与-523?角终边相同的角是（ ）

A.-

253?B.

179? C.

17? D.

343?

2.下列各角是第三象限的是（ ）

A.90? B.?45? C.?135? D.270?

二、填空题

3.在平面内，一条射线绕它的端点按 旋转所得的角称为正角；按 旋转所得的角称为负角。当射线没有做 时，也形成了一个角，称为零角。

4.所有和角?终边相同的角，连同?角在内，可以表示成 ，这样与?终边相同的角的集合可以表示成 。 三，解答题

5.写出下列各角终边相同的角的集合： （1）

72? （2）?40? （3）202?39’ (4)125?

6.求和并作图表示下列各角 （1）

（3）45??90? （4）

60??135? （2）?90??270?

360??(?135?)

7.（1）写出终边落在一、三象限的角的平分

第三章 三角函数、解三角形

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式 考点 2016年— 2015年— 2014年 2013年— [五年考情]

2012年—任意角和弧度制及任意角的三角函数 同角关系、诱导公全国卷Ⅰ·T6 —全国卷Ⅰ·T2 全国卷Ⅰ·T8 全国卷Ⅱ·T15 全国卷Ⅰ·T15 —全国卷Ⅰ·T12三角函数的图像和性质 正弦型函数及应用 简单的三角恒等变换 全国卷Ⅱ·T7全国卷Ⅲ·T14 —全国卷Ⅰ·T8全国卷Ⅱ·T10 全国卷Ⅰ·T6全国卷Ⅱ·T12 全国卷·T9 — — ——全国卷Ⅱ·T9全国卷Ⅲ·T5 全国卷Ⅰ·T17全国卷Ⅰ·T全国卷Ⅰ·T2 全国卷Ⅱ·T14 15全国卷Ⅱ·T15 —正弦定理和余弦定理 全国卷Ⅱ·T13全国卷Ⅲ·T8 全国卷Ⅰ·T16全国卷Ⅱ·T17 全国卷Ⅰ·T16全国卷Ⅱ·T4 全国卷Ⅰ·T17全国卷Ⅱ·T17 全国卷T17 [重点关注]

1．三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为15分或17分，一般是三道客观题或

一道客观题、一道解答题，以中档题为主．

2．主要考查三角函数的图像与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目

常考常新．