第九章 多元函数微分法及其应用

第九章 多元函数微分学练习题

1．求函数z?ln [1?(x2?y2)]的定义域

2．求函数z?4x?y2的定义域

ln(1?x2?y2)

3．求函数z?ln(y?x)?x的定义域

1?x2?y2

4．设函数 f(x,y)?x2y?exy

， 求 fx(x,y), fy(1,2)

5．设函数 z?ln(1?x?y2)求 ? z? x， ? z

? y

6．设 z?sin ( y? z? zx?x )，求 ? x， ；

? y

7．设z?cosxdzy，求

8． 设函数 z?ln1?x2?y2，求 dz (1,1)

9．设 z?x2y，求 d z

10． 巳知函数 u?ln(xxyyzz)，求du

11．f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数连续是f(x,y)在该点可微的（ (A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件。

；1

）

12．对于函数f(x,y)，下列结论正确的是（ ）； (A)若在点(x,y)处连续，则

基本训练1

1．设函数f(x,y)?2xyx?y22，求f?1,??y??． x?答案：

2xyx?y22

2．求下列函数的定义域：

（1）z?ln?y2?4x?8?； 答案：{(x,y)|y2?4(x?2)}； （2）z?

（3）z?arcsinyx21x?y?1x?y； 答案：{(x,y)|x?|y|}；

； 答案：{(x,y)||y|?|x|且x?0}

23．求下列极限： （1）lim

sin(xy)xx?y22； 提示：分母有理化；答案：2

x?0y?0x?y?1?1（2）lim； 答案：0

x?0y?0（3）lim

x?0y?0?3x?ysin?1xcos1y． 提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小； 答案：0

4．证明极限limx?yx?y不存在：

x?0y?0提示：令(x, y) 沿不同的路径y?kx趋向于原点，极限等于不同的值.

5．函数z?1x?y在何处是间断的？

答案：在位于xOy平面的直线y = x上.

xy?,?26．讨论函数z??x?y2?0,?x?yx?y222?0?0的连续性．

2提示：选取直线y?kx， 则

(x,y)?(

第七章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

一、平面点集n 维空间

1．区域

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点p 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组）（y x ,的全体，即},),{(2R y x y x R R R ∈=?=就表示坐标平面。

坐标平面上具有某种性质p 的点的集合，称为平面点集，记作

}),(),{(p y x y x E 具有性质=

邻域：

设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数 与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体 称为点0P 的δ邻域 记为),(0δP U ， 即

}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P

U 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ>0为半径的圆的内部的 点P

(x , y )的全体.

点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即

}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .

注: 如果不需要强

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， ，则在D上，

?x?y?y?x?2z?2z。 ??x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。

(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域

(1)z?x?y；(2)u?arccos3．求下列各极限

1?cos(x2?y2)sinxyxy(1)lim； (2)lim； (3)lim2

x?0(x?y2)x2y2x?0x?0xxy?1?1y?0y?0y?0zx?y22

?3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及。 2?x?y?x?y5．求下列函数的偏导数 (1)z?arctg23y；(2)z?ln?xy?；(3)u?exyz。 xdz。 dtdu7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求。

dt6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数

?x2?y2?z?8．曲

高等数学 多元函数微分法及其应用习题

第七节 方向导数与梯度

习题 8-7

1. 求下列函数在指定点M0处沿指定方向l的方向导数:

π

(1) z=cos(x+y), M0(0,), (3,l= 4);

2l=. (2) u=xyz, M0(1,1,1), (1,1,1)

解 (1) 由方向l=(3, 4)可求出与l同向的单位向量为

34

el=(, ,

55

因为函数可微分, 且

z x

π(0,2

= sin(x+y)

π(0,)2

= 1,

z y

π(0,)2

= sin(x+y)

π(0,2

= 1,

故所求方向导数为

z l

π(0,2

341

=( 1) +( 1) ( =.

555

(2) 函数u=xyz在平面上处处可微, 则

u u u u

=cosα+cosβ+cosγ, l x y z

因为

u u u u u u

=yz,=xz,=xy, 所以在点(1,1,1)处有===1. x y z x y z

由l

=(1,1,1)得l=, 于是

cosα=cosβ=cosγ=

故所求方向导数为

,

u

l

(1,1,1)

=11+1=.

2. 求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处, 沿着这抛物线在该点处与x轴正向夹角为锐角的切线方向的方向导数.

解 先求切

多元函数微分法及其应用习题

第三节 三重积分的计算

习题 9-3

1. 化三重积分I=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为直角坐标系中的三次积分, 其中积分区

Ω

域Ω分别是:

(1) Ω={(x,y,z)0≤x≤2,1≤y≤3,0≤z≤2};

(2)

由锥面z=与平面z=1围成的闭区域;

(3) 由双曲抛物面z=xy及平面x+y=1,z=0围成的闭区域; (4) 由曲面z=x2+2y2及z=2 x2围成的闭区域. 解 (1) 易知∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫dyf(x,y,z)dz.

01

Ω

(2) 如图9.40, 区域Ω在xOy面上的投影

区域是圆域x+y≤1, 故

2

2

2

3

2

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

Ω

=∫dx∫

1

1y1f(x,y,z)dz.

(3) Ω的顶z=xy和底面z=0的交线为x区域由x轴,y轴和直线x+y=1所围成. 于是Ω可用不等式表示为:0≤z≤xy, 0≤y≤1 x, 0≤x≤1, 因此

∫∫∫

Ω

f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫

11 x0

dy∫

xy0

f(x,y,z)dz.

22 z=x+2y,

(4) 如图9.41, 由

2

z=2 x

得x+y=1, 故区域Ω在xOy区域是圆域x2+y2≤1, 于

第九章 假设开发法及其应用 计算器 打印

颜色选择： 字体大小： 大 中 小 隐藏所有答案 一、单项选择题

1、假设开发法在形式上是适用于评估新开发房地产价值的（ ）的“倒算法”。 A、市场法 B、收益法 C、成本法 D、长期趋势法

【本题 1 分，建议 1 分钟内完成本题】

【加入题库收藏夹】 【加入题库打印收藏夹】 【答疑编号10525734,点击提问】 【隐藏答案】 【正确答案】 C

【答案解析】 本题考查的是假设开发法的理论依据。假设开发法在形式上是评估新开发的房地产价值的成本法的“倒算法”。参见教材P320。

2、某市区有一大型物资储备仓库，现根据城市规划和市场需求，拟改为超级市场。需评估该仓库的公开市场价值，最适宜采用（ ）进行估价。

A、比较法 B、成本法 C、假设开发法 D、长期趋势法

【本题 1 分，建议 1 分钟内完成本题】

【加入题库收藏夹】 【加入题库打印收藏夹】 【答疑编号10525736,点击提问】 【隐藏答案】 【正确答案】 C

【答案解析】 本题考查的是假设开发法适用的估价对象。假设开发法适用的估价对象不仅是房地产开发用地，凡是具有开发或再开发潜力且开发完成后的价

第八章 多元函数的微分法及其应用

习题 8－1

1. 指出下列平面位置的特殊性质：

（1）2x?3y?20?0 （2）3x?2?0

（3）4y?7z?0 （4）x?y?z?0 解 （1）因为方程中缺变量z, 所以该平面平行于z轴.

（2）因为方程中缺变量y、z, 所以该平面平行于yz平面即垂直于x 轴.

（3）因为方程中缺变量x且不含常数项, 所以该平面平行于x轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.

2. 求下列轨迹的方程：

（1）与点(3,0,?2)的距离为4个单位的点的轨迹;

（2）与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于2a(a?0)的点的轨迹; （3）与z轴和点(1,3,?1)等距离的点之轨迹;

（4）与yz平面的距离为4，且与点(5,2,?1)的距离为3的点之轨迹.。 解 设动点为M(x,y,z)，则

（1）点M(x,y,z)与点(3,0,?2)的距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(x?3)2?(y?0)2?(z?

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的极限与连续

1.填空

（1）设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. （2）设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.

（3）设z?z?y?x?1.

y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,

2（4）函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.

22222x?y（5）函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是

{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域

可用平面图形表示为（图8.1）

（6）函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1

22是间断的.

解 （1）f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)

=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.

（2） 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1

uv?1,y?u,于是

2 f(u,v)? （3）于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.

y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的极限与连续

1.填空

（1）设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. （2）设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.

（3）设z?z?y?x?1.

y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,

2（4）函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.

22222x?y（5）函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是

{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域

可用平面图形表示为（图8.1）

（6）函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1

22是间断的.

解 （1）f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)

=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.

（2） 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1

uv?1,y?u,于是

2 f(u,v)? （3）于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.

y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x