矩阵方程的解法AX=B

《数值计算方法》实验报告

1

线性方程组AX=B的数值解法

1.实验描述

1．P93.1，2,3:通过矩阵可表示立方体的坐标位置，与另一矩阵相乘可实现立方体坐标位置进行变换

2．P108.1:不通过行变换就能解决三角线性方程。

3.p109.7：将单位矩阵表示成列矩阵，通过对目标矩阵分别求解得出列矩阵从而得到目标矩

阵的逆矩阵。

4. 120.3：将单位矩阵表示成列矩阵，通过分解成上下三角矩阵对目标矩阵分别求解得出列矩阵从而得到目标矩阵的逆矩阵。 5.p120.4:应用程序3.3求解基尔霍夫电流。 6.p129.4:应用高斯-赛德尔迭代法求解带状方程。

2.实验内容

P93.1.

单位立方体位于第一卦限，一个顶点在原点。首先，以角度再以角度

?沿y轴旋转立方体，然后6?沿z轴旋转立方体。求旋转后立方体的8个顶点的坐标，并与例3.10的结果比较。4它们的区别是什么？试通过矩阵一般不满足交换律的事实进行解释。使用plot3命令画出3个图形。 P93.2.

?设单位立方体位于第一卦限，其中一个顶点位于坐标原点。首先以角度沿x轴旋转立

12?方体，然后再以角度沿z轴旋转立方体。求旋转后立方体的8个顶点的坐标。使用plot3

6画出这3个立方体。 P93.

高等代数课程设计,

**大学理学院

本科考查（课程论文）专用封面

学年学期：2019-2020学年第1学期

课程名称：高等代数

任课教师：**

论文/作业题目：《线性方程组及其矩阵解法》

年级专业：19数学类

姓名学号：************

提交时间：2019.12.15

评阅成绩：

评阅意见：

阅卷教师签名：2020年1月4日

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

摘要

解方程是代数中一个基本的问题，对于多元一次方程组，用矩阵来求解及讨论其的是否有解，是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念，对其定理进行证明和讨论，然后找出定理的推论进行归纳总结。最后提出个人的思考与留下的疑问。

关键词：高等代数；线性方程组；矩阵；性质；证明；思考

Abstract

Solving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one

关于几种特殊矩阵方程解的存在性及其解法探讨

【摘要】：本文通过一般线性矩阵方程的研究引出特殊矩阵方程??????C解的存在性及其解法的研究。利

用矩阵方程的运算性质将矩阵方程??????C的求解转化为方程Gx的?vec(C)，其中G??(?Ti??i)i?1p求解，再将其转化为等价的线性方程组((?n??)?(?T??m))vec(?)?vec(C)，通过求解线性方程组来证明矩阵方程??????C解的存在性，在前人研究的基础上对其解法做一些总结，并与计算机运算相结合给将其化成线

性方程组后的计算机程序，用实例加以说明。

【关键字】：一般线性矩阵方程 矩阵方程??????C Kronecker积 拉直

一. 引言及预备知识

1.引言

本文在一般线性矩阵方程

?1??1??2??2????p??p?C （1） 其中?i?Cm?m,?i?Cn?n(i?1,2,?,p),C?Cm?n是已知矩阵，而??Cm?n是未知矩阵。在研究矩

阵方程（1）的可解性及其解法的基础上，重点考虑（1）的几种特殊情况：AX?C,XA?C, AXB?C,??????C的解的存在条件及其解法。 2.预备知识

定义 1 设矩

数值分析第二次上机实习报告

——线性方程组迭代解法

一、问题描述

设 Hn = [hij ] ∈ Rn×n 是 Hilbert 矩阵, 即

hij=

对n = 2,3,4，…15, 1 i+j 1

1 x ∈Rn×n，及bn=Hnx，用SOR迭代法和共轭梯度法来求解，并与直取=

1

接解法的结果做比较。

二、方法描述

1. SOR迭代法

记H = D – L – U，SOR法的分量形式可以写成向量形式

x(k+1)=(1 ω)x(k)+ωD 1(b+Lx(k+1)+Ux(k))

(D ωL)x(k+1)=[(1 ω)D+ωU]x(k)+ωb

整理成

x(k+1)=Lwx(k)+ω(D ωL) 1b

其中，Lw为SOR法的迭代矩阵：

Lw=(D ωL) 1[(1 ω)D+ωU]

这相当于方程组Hx=b的系数矩阵分裂为H = M – N，其中

=M

N=1ω1(D ωL)

ω[(1 ω)D+ωU]

由此得到等价方程组x = M-1Nx+M-1b，利用它构造迭代法。

2. 共轭梯度法

梯度法通常的做法是先任意给定一个初始向量，然后确定一个搜索的方向和搜索步长，如此循环直到找到极小值。共轭梯度法是从整体来寻找最佳的搜索方向。它的第一步是取负梯度方向作为搜索方

矩阵的知识

维普资讯

第 l 9卷第 2期

邯郸职业技术学院学报

2O 06年 6月

矩阵方程的求解问题郑丽0 60 ) 50 1 (邯郸职业技术学院基础部，河北邯郸

摘

要：主要考察了矩阵方程的求解问题，出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种给

求解方法。

关键词：阵；阵的逆；阵方程矩矩矩中图分类号： 2 16 0 4 .文献标识码： A文章编号：0 9 4 2 2 o ) 2 0 9 3 10—5 6 (0 6 0—0 8—0—。..。.. ... ...L。. ..。.

矩阵是线性代数中的最重要的部分。贯穿于线性代数的始终，以说线性代数就是矩阵的代数，它可 矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。阵方程是矩阵运算的一部分，矩这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。握简单的矩阵方程的求法，于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。掌对 简单的矩阵方程有三种基本形式：= C,A= C,X= C。 X AB如果这里的 A、是可逆方阵，都则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。它们的解分别为：: A-C,= 1 ~,: A 1 -~。 例如，方程 A= C,求解 C先考察 A是否可逆。如果 A可逆时，程两边同时左乘 A得 A A=方~, A—

矩阵方程AXB?C的定秩解及其最佳逼近问题

第1章 绪论

对于矩阵方程AXBT?C,刘瑞娟[2]利用矩阵对的商奇异值分解,得到了解非空的充要条件和解的最大(小)秩.1955年Penrose[5]得到了AXB?C有解的充要条件和通解的表达式;1970年Lnacaster[6]利用Kornecker乘积和拉直映射也得到了它的一般解的条件和显式解;1976年，S.K.Mitra[7]研究了它的Hermitian解及非负定解的条件,并给出了两种解的表达式;1990年,戴华[8]研究了此方程在对称矩阵集合中的求解问题，利用矩阵对的广义奇异值分解得到了问题有对称解的条件和解的表达式；邓远北、彭向阳、雷渊[9?12]等系统地研究了此方程在对称化矩阵、（反）对称矩阵、半正定矩阵、正交（反）对称矩阵、（反）自反矩阵集合中的等式约束解以及最小二乘解；2003年,廖安平[13]利用广义奇异值分解研究了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘解;2004年,彭亚新[14]用迭代法系统地研究了矩阵方程AXB?C的一般解 对称解 (反)中心对称解 (反)自反解 双对称解与对称次反对称解等问题.

对于矩阵方程的定秩解问题及其最佳逼近,1972年，S．K．Mi

第六章 常微分方程的数值解法

§6.0 引言

§6.1 算法构造的主要途径 §6.2 Runge-Kutta Method算法 §6.3 线性多步法

§6.4 线性多步法的一般形式 §6.5 算法的稳定性、收敛性

§6.0 引 言

1． 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:

?dy?dx?f?x,y????y?x0??y0??

微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程:

xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得一阶常微分方程的初始问题

???y??2y??x4?y(1)??3。

显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题 的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能

够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，将[a,b]进行划分得一系列节点x0 , x1 ,...,xn，其中a= x0< x1<…< xn =b。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本无

牛吃草问题的方程解法

牛吃草问题的方程解法

浙江工贸职业技术学院 刘维先

牛吃草问题的方程解法

例题1:一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青 草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可 供21头牛吃几周？ 解：设牧场原有草量为1,每周新长草X;可供21头牛 吃y天 列表格如下: 牛的数量 27 23 21 根据每头牛单位时间 吃草数量保持不变列 方程时间 6 9 1+9X Y 1+YX 草的总量 1+6X

(1+6X) / (27×6) = (1+9X) / (23×9) = (1+YX)/21Y 解得x=5/24 ,代人 (1+9X) / (23×9) = (1+YX)/21Y 求出y=12

牛吃草问题的方程解法

题目演变之三(青草减少) 例题2:由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减 少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6 天。那么，可供11头牛吃几天？ 解：设牧场原有草量为1,每天减少草X; 列表如下：牛的数量 时间 草的总量 20 5 1-5X 16 6 1-6X 11 Y 1-YX

每头牛单位时间吃草数量

(1-5X)/20×5

(1-6X)/16×6

(1-YX)/1

关于数值分析的

常微分方程的数值解法

一、题目 2x y y 求解初值问题 y

y 0 1 0 x 1 ，10等分区间，求节点处的近似值，并对所求结

果与分析解的结果进行比较。

二、方法

欧拉法

三、程序

function E=euler(f,a,b,y0,N)

x=zeros(1,N+1);

y=zeros(1,N+1);

x(1)=a;

y(1)=y0;

h=(b-a)/N;

for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n),y(n));

end

T=[x',y']

四、结果

>> format compact

>> euler(inline('y-2*x/y'),0,1,1,10)

T =

0 1.0000

0.1000 1.1000

0.2000 1.1918

0.3000 1.2774

0.4000 1.3582

0.5000 1.4351

0.6000 1.5090

0.7000 1.5803

0.8000 1.6498

0.9000 1.7178

1.0000 1.7848

>> y=[1.0000 1.1000 1.1918 1.2774

第18卷第3期2002年9月

北京建筑工程学院学报

JOURNALOFBEIJINGINSTITUTEOFCIVILENGINEERINGANDARCHTECTURE

Vol.18No.3Jun.2002

文章编号:1004-6011(2002)04-0058-03

大型实对称矩阵特征值的数值解法

刘长河 寿玉亭 马龙友 代西武 刘世祥

(基础部,北京,100044)

摘 要:本文介绍计算稀疏大型实对称矩阵特征值的方法 Davidson方法。并把它与矩阵的拟上三角化方法结合起来,得到一种求一般大型实对称矩阵特征值的方法。关键词:特征值;三对角矩阵;Davidson方法.中图分类号:O241 6 文献标识码:A

0 引言

早在19世纪中叶,Jacobi就给出了求实对称矩阵的特征值的数值解法 经典Jacobi方法。此后,人们研究出关于矩阵的特征值及特征向量的许多新的数值解法。如幂方法,Krylov方法,Lanczos方法,Frame方法,QR方法等。特别是近几十近来,随着现代科学的发展,不断地提出一些大型的矩阵计算问题。同时,计算机技术的飞跃、计算能力的增强,使解决这些问题成为现实。Davidson方法便是目前应用较广的计