近世代数第二章思维导图
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近世代数第二章课件
第二章 群 论 20
第二章 群论
本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群,但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群.群是概括性比较强的一个概念,是近世代数中比较丰富的一个分支,它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究,发展到现在,群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域.如在近世几何中,利用群的观点,把几何加以科学分类;在晶体学中,利用群论的方法,解决了空间晶体的分类问题;在现代通讯理论中,利用群来进行编码,有所谓的群码.我们先从半群开始来研究群.
§1 群的定义及基本性质
2.1 半群的定义
设S是具有一个代数运算的集合,为了方便,将此代数运算叫S的乘法,并且仍用通常的乘法记号“·”来表示,把S的两个元素a,b关于“·”运算结果a?b简记为ab.当然,这样被叫做乘法不一定就是
指数的乘法,还可表示像矩阵、函数、向量的乘法,但一般来说它们都不是数的乘法.
定义1 如果代数结构(S,·)的乘法适合结合律,即
?a,b,c?S,有(ab)c?a(bc),则称S关于它的乘法是一个半群,简称S是一个半群.
例1
近世代数第二章答案
近世代数第二章群论答案
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为,由于ea?ae?a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有
?aa?a?ea?a a?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。
3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV?,V?来做群的
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定义:
IV? G里至少存在一个右逆元a?1,能让
ae=a 对于G的任何元a都成立;
V? 对于G的每一个元a,在G里至
近世代数习题第二章
第二章 群论
近世代数习题第二章 第一组 1-13题;第二组 14-26题;第三组 27-39题;第四组 40-52
题,最后提交时间为11月25日
1、设G是整数集,则G对运算 a?b?a?b?4 是否构成群?
2、设G是正整数集,则G对运算 a?b?a 是否构成群?
3、证明:正整数对于普通乘法构成幺半群.
4、证明:正整数对于普通加法构成半群,不含有左右单位元. 5、G是整数集,则G对运算 a?b?1 是否构成群?
6、设a,b是群G中任意两元素. 证明:在G中存在唯一元素x,使得axba?b. 7、设u是群G中任意取定的元素,证明:G对新运算a?b?aub也作成群. 8、证:在正有理数乘群中,除1外,其余元素阶数都是无限.
9、证:在非零有理数乘群中,1的阶是1,-1的是2,其余元素阶数都是无限. 10、设群G中元素a阶数是n,则 a?e?n|m.
11、设群G中元素a阶数是n,则 |a|?mbmn.,其中k为任意整数. (m,n) 设(m,n)=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^
近世代数第二章答案
近世代数第二章群论答案
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为,由于ea?ae?a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有
?aa?a?ea?a a?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。
3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV?,V?来做群的
第 1 页 共 20 页
定义:
IV? G里至少存在一个右逆元a?1,能让
ae=a 对于G的任何元a都成立;
V? 对于G的每一个元a,在G里至
近世代数第二章答案(修改)
近世代数第二章群论答案
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为,由于ea?ae?a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有
?aa?a?ea?a a?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。
3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV?,V?来做群的
第 1 页 共 20 页
定义:
IV?
G里至少存在一个右单位元e,能让
ae=a
对于G的任何元a都成立;
V? 对于G的每一个元a,在G里至少
近世代数复习
近世代数复习
一、单项选择题(20分)
1、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群。
A. G为整数集合,*为加法 B. G为偶数集合,*为加法 C.G为有理数集合,*为加法 D. G为有理数集合,*为乘法 2、设A={所有实数},A的代数运算a?b=a+2b( ) A.适合结合律但不适合交换律;B.不适合结合律但适合交换律; C.既适合结合律又适合交换律;D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中,不包含15Z的子群是( )。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z (D)13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac,那么
2?1x?( )
A. bc?1a?1; B.c?1a?1; C.a?1bc?1; D.b?1ca。
5、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有( )构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法)
6、设H (B) ab1∈H (C) a1b∈H - - (C) aob=2? a+3?
近世代数试卷
安徽大学2008—2009学年第一学期 《近世代数》考试试卷(B卷)
一、分析判断题(请判断下列命题对错,并简要说明理由) 1、模n的同余关系是一个等价关系.
2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个群. 3、?x?是Z[x]的一个极大理想.
4、在同态映射下,正规子群的象是正规子群. 5、数域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 二、计算分析题
1、设两个六次置换:??(134652),??(1235)(46)计算:??,?2?,????1. 2、求剩余类环Z12的所有可逆元和所有子环. 3、在Z8中计算:([4]x3?[3]x?[2])([5]x2?x?[3]) 三、举例题(对下列的各种情形,请各举一例) 1、环的素理想而非极大理想;
2、环和其一个子环均有单位元,但二者不相等; 3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群. 四、证明题(本题共6小题,每小题10分,共60分) 1、证明在一个有限群中:
1) 阶数大于2的元素的个数一定是偶数;
2) 偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数. 2、设H?G,证明:对?a?G,aHa?1?G且aHa?1?H.
????a2b??a,b?数域F3、证明:对集合R????关于普通的矩阵的加法和乘法
近世代数作业
练 习 题
第一次作业
1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B,A?B,A?B,B?A。 2、设A,B是U的子集,规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明: (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。
3、求下列集合的所有子集: (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}
4、设f:A?B和g:B?C是映射,证明: (1) 如果f和g是单射,则gf是单射 (2) 如果f和g是满射,则gf是满射 (3) 如果gf是单射,则f是单射 (4) 如果gf是满射,则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合,在R?R上规定二元关系“~”为:
(a, b)~ (c, d)?a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关
近世代数复习
近世代数复习
一、单项选择题(20分)
1、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群。
A. G为整数集合,*为加法 B. G为偶数集合,*为加法 C.G为有理数集合,*为加法 D. G为有理数集合,*为乘法 2、设A={所有实数},A的代数运算a?b=a+2b( ) A.适合结合律但不适合交换律;B.不适合结合律但适合交换律; C.既适合结合律又适合交换律;D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中,不包含15Z的子群是( )。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z (D)13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac,那么
2?1x?( )
A. bc?1a?1; B.c?1a?1; C.a?1bc?1; D.b?1ca。
5、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有( )构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法)
6、设H (B) ab1∈H (C) a1b∈H - - (C) aob=2? a+3?
近世代数作业
练 习 题
第一次作业
1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B,A?B,A?B,B?A。 2、设A,B是U的子集,规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明: (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。
3、求下列集合的所有子集: (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}
4、设f:A?B和g:B?C是映射,证明: (1) 如果f和g是单射,则gf是单射 (2) 如果f和g是满射,则gf是满射 (3) 如果gf是单射,则f是单射 (4) 如果gf是满射,则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合,在R?R上规定二元关系“~”为:
(a, b)~ (c, d)?a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关