泛函分析在经济学中的应用

§4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)：

目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程：

? 设?xn?n?1是R1中的点列，若???0，?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm?=xn?xm??，则称?xn?n?1是R1中的柯西点列.

? Def 1 设X=(X，d)是度量空间，?xn?n?1是X中的点列. 若

????0,?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm???，则称?xn?n?1?是X中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X，d)中每个柯西点列都收敛，则称(X，d)是完备的度量空间.

有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41,

1.412,? 在R1中收敛于2，在有理数集中不收敛.

但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.

实因若xn?x，则???0, ?N?N?????，s.t.当m,n?N时，都有d?xn,x???2.因此当n，m?N时，有

d?xn,xm??d?xn,x?+d?x,xm???2+

?2. 所以?

第二章 度量空间

§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：

目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：

一 复习度量空间的概念

设X是个集合，若对于?x,y?X，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，且满足

10 d?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

20 d?x,y??d?x,z?+d?y,z?对?x,y,z??都成立， 则称(?，d)为度

量空间或距离空间，?中的元素称为点，条件20称为三点不等式. 欧氏空间Rn 对Rn中任意两点x??x1,x2,?,xn?和

?2?y??y1,y2,?,yn?，规定距离为 d?x,y?=???xi?yi??.

?i?1? C?a,b?空间 C?a,b?表闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?.

a?t?bn12?? l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1?pp?xk?1??pk????.

?p???设x??xk?k?

第二章 度量空间

§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：

目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：

一 复习度量空间的概念

设X是个集合，若对于?x,y?X，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，且满足

10 d?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

20 d?x,y??d?x,z?+d?y,z?对?x,y,z??都成立， 则称(?，d)为度

量空间或距离空间，?中的元素称为点，条件20称为三点不等式. 欧氏空间Rn 对Rn中任意两点x??x1,x2,?,xn?和

?2?y??y1,y2,?,yn?，规定距离为 d?x,y?=???xi?yi??.

?i?1? C?a,b?空间 C?a,b?表闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?.

a?t?bn12?? l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1?pp?xk?1??pk????.

?p???设x??xk?k?

微分方程在经济学中的应用

微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时：2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用

授课教师: 张丽莉

微分方程在经济学中的应用

一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设

全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本， 这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变。

微分方程在经济学中的应用

设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型：S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0

(1)

Y β Y0 其中α 、 均为正的常数，为初期国民收入，0 > 0 .

微分方程在经济学中的应用

第一

本科学生毕业论文（设计）

题目 高等数学在经济学中的应用 学院 数学计算机科学学院 专业 数学与应用数学 学生姓名 郭庆友 学号 0807034 指导教师 朱春荣 职称 副教授 论文字数 7584

完成日期 2102 年 04 月 20 日

目 录

1 引 言 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃1 2 微分在经济学中的应用 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2 2.1 边际分析〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2 2.2 最优化问题 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

微分方程在经济学中的应用

微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时：2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用

授课教师: 张丽莉

微分方程在经济学中的应用

一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设

全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本， 这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变。

微分方程在经济学中的应用

设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型：S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0

(1)

Y β Y0 其中α 、 均为正的常数，为初期国民收入，0 > 0 .

微分方程在经济学中的应用

第一

泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章

证明：设x,y?C，则有?x??y?C。令ek?(0,?0,1,0,?0)，?,??C，

nn第k项???????共n项第 一 节

3．设{xk}是赋范空间?中的Cauchy列，证明{xk}有界，即supxk??。

k??则对任意的x?(x1,x2,?xn)，必有x?的基，则dimC?n。

n?xekk?1nk，因此{e1,e2,?,en}是空间Cn证明：???0，?N0，当m,n?N0时，有xn?xm???xn?xm??，不妨设xn?xm，则xn???xm, m,n?N0。取m?N0，则有

当视C为实线性空间时，可令基为{e1,?,en,ie1,?,ien}，则对任意的

nxn???xN0, n?N0，令c?maxx1{,x2,?,xN0,xN0??}，则

x?(x1,x2,?xn)ndiCm?2n。

，有

x??Re(xk)ek??Img(xk)(iek)k?1k?1nn，所以

xn?c, n?1。

6．设?是Banach空间，?中的点列满足敛），证明存在x??，使x?lim证明：令yn??xk?1?k??（此时称级数?xk绝对收

k?1?

10．证明dimC[a,b]??，这里a?b。

k证明：取xk(

浅析概率论在经济学中的应用

摘要

概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门学科。作为经济数学的三大支柱之一，概率统计知识在当今信息社会里越来越重要。在经济和管理活动中，怎样使利润最大、风险最小；怎样由不确定因素得出相对可靠的结论等，只有运用概率统计的知识才能解决。本文将通过实例来讨论概率统计知识在经济活动中的具体应用。

关键词:概率论与数理统计 经济学 应用 数学化

经济学的数学化已经成为不可否认的事实，而R数学化的趋势愈演愈烈。特别是近十几年来，由于金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍的应用，研究随机事件的概率论在经济学中得到越来越快的发展，而且近几年诺贝尔奖也授予在经济学的随机处理方面做出突出贡献的学者，比如1990年奖获的证券组合选择理论，1994年获奖的博弈理论(王文华，2007)；同时由于概率论考虑了样本与总体之间的关系的这一特性，对实证经济学特别是经济计量学可以说起到-r非常大的推动作用。甚至可以说，当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用．如果考虑在实证经济学领域的诺贝尔获奖者，那概率论对经济学的影响就更大了，包括第一届诺贝尔奖获得者丁博根、第二届诺贝尔获奖者萨谬尔森等在内，前前后后大约有20

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

2012泛函分析复习资料 一、定义

1. Page1 线性空间 2. Page2 Hamel基

3. Page3 凸集，凸包coE 4. Page4 度量空间

5. Page10 范数，线性赋范空间 6. Page12 内积，内积空间 7. Page14 平行四边形公式

8. Page23 Cauchy列，完备空间，Banach空间，Hilbert空间 9. Page27 稠密，无处稠密，第一纲集，第二纲集 10. page30 线性算子，线性泛函，N（T） 11. Page31 压缩映射，不动点

12. Page34同构映射，Page35 等距同构

13. page37 紧集，相对紧集，ε网，完全有界集 二、课后习题

1解答：当p?0时，d(x,y)?x?y不满足正定性，R在d下不是度量空间， 当p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故R在d下不是度量空间，

当0?p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，

若令x?y?d(x,y)，仅当p?1时，?满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时R在?下是赋范空间。

2证明：