凸函数性质证明不等式例题

福建广播电视大学学报

0 2 2 0年第

1

期

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用柯忠杰(福建广播电视大学计算机系,、

福建福州

5 3 0 00 ) 3.

:摘要利用凸函数定义证明凸函数连续性有界性存在左右导数等性质及其在证明不等式中的应用: n关键词凸函数;有界函数;连续函数;左右导数; Je s不等式 n e:::中图分类号 0 1 7 4 1 3文献标识码 A文章编号 10 0 8一 7 3 4 6 (2 0 0 2 )0 1一 0 0 4 1一0 2,.

凸函数的一般定义如下设 f x是定义在区间 I二 ( ) x x〔 b]上的实值函数如果 f (入+ (l久)y )蕊冠( )+ (1 x a x入)f(y ) ye 0任给[ b〕入e ( l )则称 f ( )为定义在 a上[ b〕的凸函数:

a

,

,

一

:证明因为

v=

竺J)+

、

十

汉二述 zZ一 X

,

因此

,

,

,

,

,

,

,

。

f(y )蕊

f犷召(乙

x

工二匹

一盖

f(z

)‘: (f(x

在凸函数的定义中我们没有假定 f )的连续性 ( a a下面我们将证明在区间【 b〕的凸函数必定在 ( b上 ),

x

.

由此可得‘ y )一‘‘)、 ( (x ( f y)一‘ )、 (

,

,

,

内连续且其左右导数都存在此外凸函数

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

学生姓名：刘娟 指导教师：张喜善

摘要：凸函数是一种性质特殊的函数，它的诸多性质在许多数学分支中，例如：数学分析、最优化理论、泛函分析等分支中都可以看到其相关的应用。本文将从凸函数的定义性质出发，讨论其在几个比较重要的不等式证明方面的应用，其方法主要是先构造能出一个能够解决问题的凸函数然后从凸函数的性质入手整理化简不等式从而达到解决问题的目的。

关键词：凸函数 定义 性质 不等式证明

引言：凸函数是一类重要的函数，它的应用领域非常广泛，在很多数学问题的分析与证明中我们都需要用到凸函数，特别是在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。凸函数的性质可以解决很多不等式的证明，在证明问题中利用凸函数的性质定理可以使得证明过程更加简洁、巧妙，而证明的关键步骤就是构造出一个能解决问题的凸函数，再运用凸函数的定义及重要性质，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明。本文将从凸函数的定义与性质出发，在了解了凸函数的各个性质之后再研究某些性质在几个比较重要的不等式证明当中是怎样应用的，通过应用凸函数的性质来证明本文

凸函数和琴生不等式

1..(02成都模拟试题)若函数y?sinx在区间(0,?)上是凸函数，那么在?ABC中，sinA?sinB?sinC的最大值为A

32313 B C D

2222分析：

?y?sinx在(0,?)上是凹函数，则：1A?B?C3(sinA?sinB?sinC)?sin()?sin60??33233sinA?sinB?sinC?2当且仅当sinA?sinB?sinC时，即A?B?C??3时，取等号；2.若a1,a2,?an是一组实数，且a1?a2???an?k(k为定值)，试求：a1?a2???an的最小值分析：?f(x)?x2在(??,??)上是凸函数a1?a2???an2k21222?(a1?a2???an)?()?2nnnk2222?a1?a2???an?n当且仅当a1?a2???an时，取等号2223.已知xi?0,(i?1,2,?,n)，n?2,x1?x2???xn?1，求证：(1?1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn1111111证：?[(1?)n?(1?)n???(1?)n]?n(1?)n(1?)n?(1?)nnx1x2xnx1x

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式

数列、函数与不等式

及其试题设计

三、不等式证明 方法总结：

不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法．要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．

A B 0 A B；作商比较：A B 作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小． 2、综合法：由因导果．

3、分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．

4、反证法：正难则反．

放缩法的方法有：

①

an； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③

利用基本不等式，如：log3 lg5 (④

lg3 l

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典型例题一

例1 若0?x?1，证明loga(1?x)?loga(1?x)（a?0 且a?1）．

分析1 用作差法来证明．需分为a?1和0?a?1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．

解法1 （1）当a?1时，

因为 0?1?x?1,1?x?1， 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x2)?0． （2）当0?a?1时， 因为 0?1?x?1,1?x?1 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ?loga(1?x)?loga(1?x) 2 ?loga(1?x)?0． 综合（1）（2）知loga(1?x)?loga(1?x)． 分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法． 因为 loga(1?x)?loga(1?x) ?lg(1?x)lg(1?x) ?lgalga1?lg(1?x)?lg(1?x)? lga1??lg(1?x)?lg(1?x)? lga?1lg(1?x2)?0， lga???所以loga(1

第1篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,b?R，求证：ab?(ab)?aba?b2?abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a

24、设a,b?R?，且a?b?1，求证：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求证：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求证：a?b?

7、a,b,c,d?R求证：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

111

18、求证2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求证：?2n?1n?22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y?2?x?

（2） 已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2） x1的最小值（4） x?

2111（3） 已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y?

14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2

自己原创的。

河南开封市高级中学jason_1108@

利用排序不等式证明AM-GM不等式AM-GM不等式若a1,a2, ,an>0，则

a1+a2+ +an≥n

等号当且仅当a1=a2= =an时成立a1a2 an

证明：令G=a1a2 an，则原不等式等价于

a1+a2+ +an≥nG

构造数列

A=

B= aaaaa a,, ,2GGGnGG2Gn,, ,a1a1a2a1a2 an

显然，两组数列中的元素有着一一对应的关系，即A中第K大的元素在B中所对应的元素是第K小的元素。所以，A、B两组数列中的元素对应相乘再相加所得结果是两组数列的反序和，即为n。

另一方面，A、B两组数列错位相乘为两组数列的乱序和，即乱序和是a1+a2+ +an。G

由排序不等式，乱序和大于等于逆序和，即

a1+a2+ +an≥nG

原不等式得证。

第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

第19炼 利用函数证明数列不等式

利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。 一、基础知识： 1、考察类型：

（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源：

（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。 （2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式：

x（1）lnx?x?1 对数→多项式 （2）e?x?1 指数→多项式

4、关于前n项和的放缩问题：求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几

高中数学几个重要不等式的证明。

四、排序不等式

【】

（一）概念9： 设有两组实数

a1，a2， ，an （1） b1，b2， ，bn （2） 满足

a1 a2 an （3） b1 b2 bn （4） 另设

,cn （5） c1，c2，是实数组（2）的一个排列，记

逆序积和S a1bn a2bn 1 anb1 乱序积和S' a1c1 a2c2 ancn 似序积和S'' a1b1 a2b2 anbn 那么

S S' S'' 且等式成立当且仅当 a1 a2 an

或者

b1 b2 bn

证明【9】：

1，预备知识

引理1（Abel变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

k

B0 0，Bk 那么

n

b,

i

i 1

n 1

akbk anBn (ak 1 ak)Bk

k 1

k 1

事实上：

n

n

akbk

k 1

a

k 1n 1

k

(Bk Bk 1) an(Bn Bn 1) an 1(Bn 1 Bn 2) a1B1