高中立体几何大题20道

立体几何大题练习（文科）：

1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=

，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为

，求侧面△SAB的面积．

【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；

（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值． 【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=

a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，

=

a，

，

由余弦定理可得AD=则BD⊥AD，

由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；

（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为由AD=SD=

a，

a，

a，

，

典型立体几何题

典型例题一

例1 设有四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩

形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；

命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中所有对角线相等，对角面B1BDD1是平行四边形，对角线

BD1?B1D，所以四边形B1BDD1是矩形，即BB1?BD，同理四边形A1ACC1是矩形，所以AA1?AC，由AA1//BB1知BB1?底面ABCD，即该平行六面体是直平行六面体．

故选A．

说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．

下面我们列表来说明平行四边

立体几何中有关体积问题

一、知识归纳

1、柱体体积公式：V?S.h

2、椎体体积公式：V?13S.h 3、球体体积公式：V?433?R

二、点到平面的距离问题 求解方法：

1、几何法：等体积法求h

2、向量法： 点A到面?的距离d?AB?nn

?其中，n是底面的法向量，点B是面?内任意一点。题型分析：

1、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点，且CD?DA1

（1）求证：BB1?平面ABC （2）求证：BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积

A1C1 B 1 AC D B

2、如图，在四棱锥E?ABCD中，?ADE是等边三角形，侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC，且

BD?2DC?4，AD?3，AB?5.

（1）若F是EC上任意一点，求证：面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。

E F C D

AB

3、如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为

DD1、DB的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C （2）求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1

AB11 E D C F AB

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点

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1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形，SD?底面ABCD，

AD?2，DC?SD?2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

????求二面角S?AM?B的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的

A1 C1 角的大小

B1 D A B E

C 3.（2009浙江卷）如图，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，

?ACB?120，P,Q分别为AE,AB的中点．（I）证明：PQ//平面ACD；（II）求AD与平

面ABE所成角的正弦值．

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，

PD?底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；（Ⅱ）当PD?2AB且E为PB的中点时，

PM求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P?AB

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

第19课 空间几何体的体积（2）

分层训练

１．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为?，则球的表面积为（ ）

（A）82? （B）8?

（C）42?

（D）4?

２．（06四川） 如图，正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V16P?ABCD?3，则球O的表面积是 （ ） （A）4? （B）8? （C）12? （D）16? ３．在正三棱锥S-ABC

中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=23，则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（ ）

A. 12π B. 32π C. 36π D. 48π

考试热点

４．圆o1是以R为半径的球O的小圆，若圆o1的面积S1和球O的表面积S的比为S1:S?2:，9则圆心o1到球心O的距离与球半径的比OO1:R?＿＿＿＿＿。

５.一个正六棱锥的底面边长为6cm , 高为15cm , 则该棱锥的体积____________ . ６.火星的半径约是地球的一半, 地球表面积是火星表面积的__________倍.

７．木星的表面积约是地球的120倍, 它的体积约是地球_________倍.