高中数学代数式的恒等变形

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧

一、代数式恒等的一般概念

定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。

定义2 如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。

两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但在另一个子集内可能不恒等。例如，x2?x，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。

定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。

代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx2的定义域是(??,0)(0,??)，2lgx的定义域是

(0,??)，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,??)内，才有恒等式lgx2=2lgx。由lgx2变形为2lgx时，

定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代

代数式的恒等变形

1.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=O，则(x-y-z)

2009

=

2.设x，y满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3

+2004x=3006，则x+y= ．

3.分解因式：ab(a?b)2?(a?b)2?1=

6.已知m、n 为整数,且满足2m2

+ n2

+3m + n - 1 = 0. 则m + n=

9.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足a4

+b4

+

12c4=a2c2+b2c2

．则△ABC的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax2

+by2

=49，ax3

+by3

=133，ax4

+by4

=406，则1995?x?y??6xy?172?a?b?? .

11.已知非零实数a、b、c满足a2

+b2

+c2

=1，a(1?1)?b(1111bca?c)?c(a?b)??3，

则a+b+c= .

12.若x，y是实数，且m=x2-4xy+6y2

-4x-4y，则m的最小值为 ．

1

13.已知b?a?11b2，2a?a?，则?a

初中数学中考题

热点1 代数式的变形与代数式的求值

（时间：100分钟 分数：100分）

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1xy211a1．在x，，，x+y，xy-2，中，单项式有（ ） 322 3

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．x的5倍与y的差等于（ ）

A．5x-y B．5（x-y） C．x-5y D．x5-y

3．用正方形在日历中任意框出的四个数一定能被（ ）整除

A．3 B．4 C．5 D．6

4．现规定一种运算：a*b=ab+a-b，其中a、b为常数，则2*3+1*4等于（ ）

A．10 B．6 C．14 D．12

225．已知一个凸四边形ABCD的四条边长依次是a、b、c、d，且a+ab-ac-bc= 0， b+bc-bd-cd=0，

那么四边形ABCD是（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

6．若m2x2-2x+n2是一个完全平方式，则mn的值为（ ）

A．1 B．2 C．±1 D．±2

7．某商店有两

代数式求值

【典型例题】

例1 若2m?6,4n?2，求22m?2n?2的值．

例2 若2a?3,46?6,8c?12，求a,b,c之间的数量关系．

例3 己知x2?y2?4x?6y?13?0,求x+y的值.

例4 已知x2?y2?2x?4y?5?0，求x?y的值．

例5 已知a?a?1??b?a

111例6 已知x2?3x?1?0，求x?,x2?2,x4?4的值．

xxx

?2?a2?b2?ab的值． ?2，求2【经典练习】

1

1．已知3m?4,3m?4n?4，则2003n的值是多少？ 81

2．计算(x?2y)(x?2y)?(2x?y)(?2x?y)其中x=8,y=-8

3．已知a?b?3,ab?4，求a2?b2的值．

4．已知x2?y2?27,x?y?3，求（1）x?y；（2）

5．若3m?6,27n?2，求32m?3n的值．

26．如果?2x?m??4x2?12x?n，求m?n的值．

2

y． x

7．化简求值：a2?b2a2?b2??a?b??a?b?．其中a?4,b?22????1． 4

8．已知x?y?4,xy?1

a天，这时完成的工程为

《列代数式、代数式的值》同步练习

6、一辆汽车从甲地出发，先以a千米/时速度走了m小时，又以b千米/时的速

一、判断题 1、单独一个数如-2

度走了n小时到达乙地，则汽车由甲地到乙地的平均速度为 千米/时

2

不是代数式（ ） 3

7、一件商品，每件成本a元，将成本增加25％定出价格，后因仓库积压调作，按价格的92％出售，每件还能盈利

2、s=πr是一个代数式（ ） 3、当a是一个整数时，

1

总有意义（ ） a

8、有一列数：1,2,3,4,5,6,…,当按顺序从第2个数数到第6个数时共数了 个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时共数了 个数。

三、选择题：

1、下列代数式中符号代数式书写要求的有（ ）

4、代数式

1

的值不能大于1 2

1 x

2

2

2

5、x与y的平方和与x、y的和的平方的差为(x+y)-(x+y)

6、某工厂第一个月生产a件产品，第二个月增产x%，两个月共生产a+a·x% 二、填空题

1、设甲数为x，乙数比甲数的3倍多2，则乙数为 2、设甲数为a，乙数为b，则它们的倒数和为

代数式求值（一） 方法：直接带入法 【典型例题】

例1 当x?2,y?1时，求代数式x2?xy?y2?1的值。

212

例2 已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的有理数，求代数式2x3?5x2y?3xy2?15y3的值。

11??例3．已知x???1??3??，求代数式x1999?x1998?x1997???x?1的值。

26??3

例4 已知

例5 当x?7时，代数式ax3?bx?5的值为7；当x??7时，代数式ax3?bx?5的值为多少？

例6 已知当x?5时，代数式ax2?bx?5的值是10，求x?5时，代数式ax2?bx?5的值。

1

2?2a?b?3?a?b?2a?b的值。 ??5，求代数式

a?b2a?ba?b

【巩固练习】

1．当a?17，b?13时，求a2?ab?b2的值。

2．已知a?b?3，b?c?2；求代数式?a?c??3a?1?3c的值。

23.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m?3，求代数式213?a?b??6cd?3m2?m的值。

2

111??4．已知x???1????2?，求代数式x1999?2x1998?3x199

列代数式

一、 判断.

1.表示a与b差的倒数应为

1.( a?b)

)

2.代数式(x?y)2表示x加上y的平方.(

3.若一个三位数个位数字为a,十位数安为b,百位数字为c,则该三位数为cba.( ) 4.a?3是代数式,a?3不是代数式.( ) 5.3x?7?2y?3是代数式.( ) 6.a是代数式,–3也是代数式.( ) 7.4+2–3不是代数式.( 8.

)

)

n(n?1),x?2y?1都是代数式.( 2二、填空.

9.a2?b2的意义是____________,(a?b)2的意义是____________.在运算顺序上两者的不同之处是a2?b2先____________,后____________;(a?b)2先____________,后____________.

10.代数式

a?b表示的意义是____________. 211.找规律填空.1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52;?；1+3+5+?+99=____________=____________；1+3+5+?+(2n?1)=____________.

12.a是一个两位数,已知十位数字为b,则个位数字是

初一数学培优练习（二）

例题求解

【例1】已知a+b=0,a≠b,则化简

ba(a+1)+

ab(b+1)得( ). (第15届江苏省竞赛题)

A.2a B.2b C.+2 D.-2

【例2】已知x=2,y=-4时,代数式ax3+

3

12by+5=1997,求当x=-4,y=-

12时,代数式

3ax-24by+4986的值.

【例3】已知关于x的二次多项式a(x3-x2+3x)+b(2x2+x)+x3-5,当x=2时的值为-17,?求当x=-2时,该多项式的值. (“希望杯”邀请赛培训题)

【例4】(1)已知:5│(x+9y)(x,y为整数),求证:5│(8x+7y).

2【例5】已知2a?3a?5?0, 求4a?12a?9a?10的值。

432

【例6】已知式子：?4x?4?7x?1?3x?4的值恒为一个常数，求x的取值范围。

- 1 -

【例7】已知关于x的二次多项式a(x3?x2?3x)?b(2x2?x)?x3?5，当x=2时的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值。

【例8】三个有理数a、b、c，其积是负数，其和

高中数学必修五公式大全

一、解三角形：ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系： 1、角的关系：A + B + C =____，

特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B =_____， ∠A +∠C =____.

2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) =________, cos ( A + B ) = ________,

sin (ABCABC2?2) = cos2 , cos (2?2) = sin2.

3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.） 4、边角关系：（1）正弦定理：???2R

（R为ΔABC外接圆半径），

?a?2RsinA 分体型：???，推论：a:b:c?::.

???（2）余弦定理：??a2?____?____?__________,?b?____?____

变形：??2?cosA???__________,????c2?____?____?__________.?cosB?????cosC?5、面积公式：S?ABC?_______?_______?_______.

二、数列 （一）、等差数列{ a n }：定义：_____?_____?__

1

盈亏问题

导入：一天早上，猴子妈妈对两个孩子说：你们分别提一个篮子，去果园里摘些桃子回来吧。

情境1：到了中午，兄弟俩回来了，大毛说：“我摘的桃子还差7个就装满一篮了。”小毛说：“我摘的桃子装满了一篮，手里还捧着11个呢。”

猴妈妈想：谁摘的桃子多？多多少个？

情境2：到了中午，兄弟俩回来了，大毛说：“我摘的桃子装满一篮，还多9个。”小毛说：“我摘的桃子装满一篮，还多6个。”

猴妈妈想：谁摘的桃子多？多多少个？

情境3：到了中午，兄弟俩回来了，大毛说：“我摘的桃子还差12个才装满一篮呢。”小毛说：“我摘的桃子还差8个就装满一篮了。”

定义：把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。

例1：班主任先带我们去坐旋风车，连老师在内，如果每车坐12人，则多出12人；如果每车坐20人，则空出一辆车没有人坐。你知道公园里有多少旋风车吗？我们一共去了多少同学？

小结：本题是盈亏问题中的一盈一亏类问题，解决这类问题通常用： （盈＋亏）÷两