三角形的三个角平分线

难舍难分的角平分线与等腰三角形

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。

一、 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。

图1

例1. 如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

，交BA的延长

图2

简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。

例2. 如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

图3

简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是DE//AC，所以

和

。

训练题：如图4，在

中，AD平

难舍难分的角平分线与等腰三角形

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。

一、 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。

图1

例1. 如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

，交BA的延长

图2

简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。

例2. 如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

图3

简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是DE//AC，所以

和

。

训练题：如图4，在

中，AD平

三角形的高、中线、角平分线练习题

1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。

2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ）

A ．直线

B ．射线

C ．线段

D ．射线或线段

3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C

．钝角三角形 D ．不能确定

4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是

（ ）

A ．中线

B ．高

C ．角平分线

D ．以上三种情况都正确

5、如图若∠BAF=∠CAF ，则____是△ABD 的角平分线，

____是△ABC 的角平分线

6、如图AB ⊥AC ，则AB 是△ABC 的边____上的高，也是

△BDC 的边______上的高，也是△ABD 的边____上的高.

7、如图BD 、AE 分别是△ABC 的中线、角平分线，AC=10cm ，

∠BAC=700，则AD=_____，∠BAE=____.

F A B C

D A B C D A B C D

8、在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分

线，AF 是

高，填空：

⑴BE ＝___＝21_____；

⑵∠BAD=_____=21

_____；⑶∠AFB=_____=90

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则＜D=90^o+1/2＜A证明如图1,＜1=＜1’,＜2=＜2’,2＜1+2＜2+＜A=180^。.＜l+＜2+＜D=180^。.

2 8

中。擞 ( 1年 0初中 ) 7 7 2 1第1期 版 0

解题研究

三角形内外角平分线有关命题韵证明及应用4 1 2湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林 4 13在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，本文将此类问题进行归纳总结，以利于进行求解.命题 1如图 1点 D是， AA C两个内角平分线的交 B点，a￥l￣o=9。 0十l E A.

=9 0。一1 Z.

A.

点评

利用角平分线的定义和三角形的一个外角

等于与它不相邻两内角的和以及三角形的内角和等于10,以证明. 8。可命题 3如图 3, E是点

AA C一个内角平分线与一 B个外角平分线的交点，则 EC D

证明‘.’

如图 1,1= 1 2= 2,,

1 A=.

A.

图3

.

.

2 1+2 2+/

=1 0, 8。

(

1 2+LD=10.+ 8。 ①一得②

②

证明‘ .

如图 3,1= L

教案

7.1.2三角形的高、中线与角平分线

大坦学校 许志越

一、教学目标：

1、 三角形的高、中线与角平分线的定义。

2、 三角形的高、中线与角平分线的画法及数量关系。 3、 通过学习，增强空间抽象能力和比较归纳思想。 二、教学重点：

三角形的高.中线与角平分线的定义及画法。 三、教学难点：

三角形的高.中线与角平分线的定义的理解及不同三角形高的画法 四、教学分析：

本课课本内容较少，为一个课时，为了加深学生的学习兴趣与理解，在教学中我一方面将教学内容与小学内容进行衔接，增强过渡效果。第二方面为加深学生对定义理解，教学中可采用投影，既可以对指定内容进行强调，又可减少教师上课作图时间，增加教学容量。第三教学中我采用了折纸方法，进一步加强学生对定义的理解。 五、教学过程： 1、教学引入：

1)复习三角形的定义。

(由三条线段首尾相接组成的图形) 2）三角形的面积公式是什么？ S△=

1ah 2

3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗？引出课题 2、新课讲解：

三角形的高

1）找一个同学上黑板作一个三角形的高。注意规范，师生指正。

找一个同学用几何语言来描述一下三角形的高的定义，归纳出定义。

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，所得的垂线段

1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形： a、 如图甲：一直线与角的一边平行 //OA??3??2?CD???1??3?DO?DC ?1??2? 等腰三角形DOCb、 如图乙：一直线与角的平分线平行

?? DE//OC???

2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行

CO?DC??1??3? ???2??3?CD//OA?1??2?

b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行

?1??3????2??4???3??4?OD?OE??等腰三角形ODE??1??2?图甲

B

O 3 D

图乙 1 2 4 E

A

C

?OE??3??4?OD1???3??AOB???2?AOB??3??4? ? ??1??3?OC//DE1 ??1??AOB?2 ?3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线

a、如图甲：与一腰平行 OA//DC??3??2????1??2 CO?DC??3??1?b、如图乙：与底边平行 OD?OE??3??4? ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ??2??DE//OC?

初中数学教学课件

九年级数学(上册)第一章 证明(二)3.线段的垂直平分线(2) 三角形的垂心

阳泉市义井中学 高铁牛

初中数学教学课件

线段的垂直平分线 的作法 用尺规作线段的垂直平分线. C 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于

回顾

思考

A

B

AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.

D

老师提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.

驶向胜利 的彼岸

初中数学教学课件

回顾

思考

定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点距离 相等).P

线段的垂直平分 线的性质

C N

B

老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.

驶向胜利 的彼岸

初中数学教学课件

回顾

思考

线段的垂直平分线的 性质定理的逆定理M P

逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. 如图,

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

三角形的高、中线与角平分线

学习目标：了解三角形的角平分线、中线、高线的概念，

并会画出任意三角形的角平分线、中线、高线。

三角形的

定义 图形

重要线段

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段

几何符号表示法

A三角形 的高线

BDAC1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°.

三角形 的中线

三角形中,连结一个顶点和它对边中点的 线段

1.AE是△ABC的BC上的中线. 2.BE=EC=

1BC. 2BDC

三角形的 角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段

A211.AM是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=

BDC

1∠BAC. 2例1.请画出下列三角形的高

（2） （3） （1）

可以发现，三条高________；锐角三角形三条高的交点就是______________；直角三角形三条高的交点就是______________；钝角三角形有两条高位于三角