凸函数判别定理

毕 业 论 文（设计）

论文（设计）题目： 凸函数的判别和应用

系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2004104509 姓 名： 林 庆 指导教师： 娄祖安 时 间： 2008年5月25日

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河 池 学 院

毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告

系别: 数学系 专业:数学与应用数学 论文 凸函数的判别和应用 题目 选题意义 凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。 学生姓名 林庆 学 号 2004104509 研究综述(前人的研究现状及进展情况) ??lder,Jensen和 Minkowski的工凸函数理论的奠基工作可以追溯到20世纪初前后

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

题目： 凸函数与极值

院（系） 理学院 专 业 年 级 姓 名 指导教师

数学与应用数学 2009级 哦哦 啊啊啊

学 号 09031432 职 称 副教授

2013年 月 日

毕业论文（设计）评语及成绩

论文类型：理论研究型 评语： 该论文的选题有一定的理论价值。本文主要观点正确，选题有一定的新意，论点正确、论据充分、结构严谨、文理通顺、条理清晰、逻辑性强、写作格式规范、图表正确、清晰。所采用的资料可信度、支撑度高。全文理论结合实际，对应用凸函数的性质求解极值问题做出了全面而深刻的分析和总结，反映了该生较扎实的理论基础。本文对提高学生解题能力、培养创新能力具有一定的指导作用。符合本科毕业论文的规范要求。 可以提交答辩。 指导教师（签字） 年 月 日 评语及评分 成绩： 答辩委员会主席（签字） 年 月 日 院（系）学位评定委员会意见： 签字： 年 月 日 学校学位评定委员会意见： 签字： 年 月 日

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a

-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两

本科生毕业论文

题 目

凸函数的几个等价定义

系 别

班 级

姓 名 学 号

答辩时间

学院

目 录

摘要……………………………………………………………………………………4 1凸函数的定义………………………………………………………………………6 2凸函数的等价定义和性质…………………………………………………………6 2.1凸函数的等价定义………………………………………………………………6 2.2凸函数的性质……………………………………………………………………7 3凸函数等价定义和性质的应用举例………………………………………………10 3.1一些集合上的凸函数举例………………………………………………………10 3.2运用凸函数等价定义证明不等式………………………………………………11 总结……………………………………………………………………………………16 参考文献………………………………………………………………………………17 谢辞……………………………………………………………………………………18

凸函数的几个等价定义

摘 要

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有

凸函数性质及其应用

摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.

关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式

Abstract In this article，first we list several kind of definitions for convex functions，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.

Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions

凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领

判别式与韦达定理

根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

1． 判别式的应用

2

例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax+2bx+c=0必有实根.

2

证明 △=（2b）-4ac.①若一元二次方程有实根，

必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得

2

△ =（Pc+Ra）-4ac

22

=（Pc）+2PcRa+（Ra）-4ac

2

=（Pc-Ra）+4ac（PR-1）.

∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0；

2

（2）当ac＜0时，有△=（2b）-4ac＞0.

2

（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax+2bx+c=0必有实数根.

例2 k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐

2

标是x,x＜a，且OP=k·PA·OA.

（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；

（2） 若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.

2

解 （1）由已知可得x=k

本 科 生 毕 业 论 文

凸函数及其应用

目 录

摘要................................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... II 第一章 绪论.................................................................................................................. 1

1.1凸函数的产生................................................................................................. 1 1.

本 科 生 毕 业 论 文

凸函数及其应用

目 录

摘要................................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... II 第一章 绪论.................................................................................................................. 1

1.1凸函数的产生................................................................................................. 1 1.

凸函数和琴生不等式

1..(02成都模拟试题)若函数y?sinx在区间(0,?)上是凸函数，那么在?ABC中，sinA?sinB?sinC的最大值为A

32313 B C D

2222分析：

?y?sinx在(0,?)上是凹函数，则：1A?B?C3(sinA?sinB?sinC)?sin()?sin60??33233sinA?sinB?sinC?2当且仅当sinA?sinB?sinC时，即A?B?C??3时，取等号；2.若a1,a2,?an是一组实数，且a1?a2???an?k(k为定值)，试求：a1?a2???an的最小值分析：?f(x)?x2在(??,??)上是凸函数a1?a2???an2k21222?(a1?a2???an)?()?2nnnk2222?a1?a2???an?n当且仅当a1?a2???an时，取等号2223.已知xi?0,(i?1,2,?,n)，n?2,x1?x2???xn?1，求证：(1?1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn1111111证：?[(1?)n?(1?)n???(1?)n]?n(1?)n(1?)n?(1?)nnx1x2xnx1x

中文摘要

凸函数的性质及其应用研究

摘 要

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式 、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。

关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式

第 I页 共III页

英文摘要

Properties and Applications of Convex Function

Abstract

Convex function is a kind of important