概率统计常见分布

常见分布的期望和方差

x n

(0,1)

N()

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ

σ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度

常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布

已知随机变量X的分布律为

X

10

p

p1 p

则有

E(X)=1 p+0 q=p,

D(X)=E(X2) [E(X)]

2

=12

p+02

(1 p) p2

=pq.

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,

(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,",n则

X=∑Xi

i=1

n

n

显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

所以E(X)=∑E(Xi)=np.

i=1

D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).

i=1

n

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n

( n

标准正态表

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.

样本的自由度为什么是n-1?

新编统计学教程，袁卫等，经济科学出版社1999。P64

总体方差的计算公式，σ2表示总体方差，X表示总体均值，也可用μ表示。样本方差的计算公式，S2表示样本方差，x是样本均值，n表示样本容量，n-1称为自由度(Degree of Freedom)。

为什么样本方差S2的n个离差的平方和不除以n反而要除以n-1呢?也就是样本方差的自由度为什么取n-l呢?这可以从两个方面理解或加以说明。

首先，自由度是不受任何约束，可以自由变动的变量的个数。是反映分布或数据差异信息的个数，即(xi-x)误差的个数。例如，当n=1时，即xi只有一个数值时，由于xl=x，(xl-x)=0，它说明数据与均值没有差异，即表示差异的信息个数为1-l=0；当n=2时，x就是xl和x2的中值，则(xl-x)和(x2-x)的绝对值相等，只是符号相反。这两个误差只表示一个误差。即xl和x2与x相差|xl-x|，即差异的个数为2-1=1；当n=3时，假设xl =1，x2=2，x3=6，则x=3。这时，表面看来误差有3个，即

(1-3)=-2，(2-3)=-1，6-3=3

但实际上告诉给我们的误差信息只有2个，因为数据比均值小的误差绝对值

目录

1.均匀分布 (1)

2.正态分布（高斯分布） (2)

3.指数分布 (2)

4.Beta分布（β分布） (2)

5.Gamma分布 (3)

6.倒Gamma分布 (4)

7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5)

8.Pareto分布 (6)

9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)

χ分布（卡方分布） (7)

10.2

11.t分布 (8)

12.F分布 (9)

13.二项分布 (10)

14.泊松分布（Poisson分布） (10)

15.对数正态分布 (11)

1.均匀分布

均匀分布~(,)

X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a

=- ()2a b E X += 2

()()12

b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布）

当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。

2

2()2()x f x μσ--=

()E X μ=

2()Var X σ=

3. 指数分布

指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指

常见大题：

1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B看做“结果”，有多个“原因或者条件

Ai”可以导致

B这个“结果”发生，考虑结果B发生的概率，或者求在B发生的条件下，源于某个原因

全概率公式：

P?B???P?Ai?P?B|Ai?i?1nAi的概率问题

nj贝叶斯公式：

P(A?)i|BP(iA)｜P(BA)i?j?1P(｜A)P(jBA)

一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a只红球和b只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 Bi表示从第i个口袋放入第i?1个口袋红球，i?1,2,3,4

Ai表示从第i个口袋中任取一个球为红球， 2分

则

P(B1)?a， 2分 a?bP(A1)?P(B1)P(A1B1)?P(B1)P(A1B1) ?aa?1baa?? 2分

课后练习：

一、单项选择：

1、抽样误差是指：（ ）

A. 抽样推断中各种原因引起的全部误差 B. 工作性误差 C. 系统性代表误差

D. 随机误差 D

2、重复抽样的抽样误差（ ） A. 大于不重复抽样的抽样误差 B. 小于不重复抽样的抽样误差 C. 等于不重复抽样的抽样误差

D. 不一定 A

3、在简单重复抽样下，若总体标准差不变，要使抽样平均误差变为原来的一半，则样本单位数必须（ ）

A. 扩大为原来的2倍 B. 减少为原来的一半 C. 扩大为原来的4倍

D. 减少为原来的四分之一 C

4、在抽样之前对每一个单位先进行编号，然后使用随机数字表抽取样本单位，这种方式是（ ）

A. 等距抽样 B. 分层抽样 C. 简单随机抽样

D. 整群抽样 C

5、一个连

第四章 常用概率分布

为了便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法， 本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。

第一节 事件与概率

一、事 件

（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各

种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。例如，在标准大气压下，水加热到100℃必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象称为必然现象（inevitable phenomena）或确定性现象（definite phenomena）。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋，可能“孵化出0只雏”，也可能“孵化出1只雏”，?，也可能“孵化出6 只雏”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确

园林植物

地被植物

草本地被植物

白穗花

蚌兰

彩叶草

长春花

车前草

红花酢浆草

大吴风草

宽叶韭

地被菊

二月兰

葱兰

宿根福禄考

虉草

海石竹

红龙草

绿苋草

虎耳草

吉祥草

金球亚菊

堇菜类

景天属(直立型)

美花落新妇

半枝莲

马利筋

麦冬类和沿阶草类

大花美人蕉

白花三叶草

水鬼蕉

莓叶委陵菜

小冠花

常夏石竹

萱草

玉簪

玉竹

鸢尾类

紫锦草

黄帝菊

桔梗

秋水仙

美女樱

园林植物

灌木类地被植物

变叶木

技桑

正水

杜鹃

福建茶

龟甲冬青

红背桂

红花木继木

红桑

黄榕

雀舌黄杨

夹竹桃

金露花

金叶莸

金叶洗

翅荚决明

蓝雪花

六月雪

龙船花

美蕊花

小蜡树

铺地柏

狭叶十大功劳

希茉莉

红果仔

小檗

小驳骨丹

粉花绣线菊

野牡丹类

圆柏

月季

栀子

紫金牛

铁海棠

细叶萼距花

马缨丹

芙蓉菊

山茶

藤本及攀缘地被植物

常春藤

垂盆草

地瓜榕

园林植物

扶芳藤

合里芋

番薯

活血丹

络石

马蹄金

蔓长春

蔓花生

三裂蟛蜞菊

穗序木蓝

蛇莓

蔓马缨丹

珍珠菜

矮生竹类地被植物

菲白竹

箬竹

花坛及花坛植物

二年生花坛植物

矮牵牛

矮雪轮

百日草

白晶菊

报春花

波斯菊

雏菊

翠菊

待宵草

东方罂粟

何氏凤仙

花烟草

黄帝菊

霍香蓟

鸡冠花

金鱼草

金盏菊

毛地黄

美女樱

园林植物

南非万寿菊

还阳参

千日红

随意草

三色堇

三色苋

红花鼠尾草

四季秋海棠

穗冠

天人菊

甜菜

万寿菊

夏堇

香雪球

新几内亚风仙

勋章菊

一串红

虞美人

羽扇豆

羽衣甘蓝

紫罗兰

紫茉莉

醉蝶花

瓜叶菊

金鸡菊

卷耳

孔雀草

向口葵

喜林革

花菱草

观赏

常见分子构型及杂化方式

分子或离子 配位原子数 孤电子对数 杂化方式 VSEPR模型名称 立体构型

H2O 2 2 SP3 正四面体 V形 NH2－ 2 2 SP3 正四面体 V形 NH3 3 1 SP3 正四面体 三角锥形 H3O+ 3 1 SP3 正四面体 三角锥形 CH4 4 0 SP3 正四面体 正四面体形 NH4+ 4 0 SP3 正四面体 正四面体形 SiCl4 4 0 SP3 正四面体 正四面体形 SO32- 3 1 SP3 正四面体 三角锥形 SO42－ 4 0 SP3 正四面体 正四面体形 PO43－ 4 0 SP3 正四面体 正四面体形 CHCl3 4 0 SP3 正四面体 四面体形 SO2 2 1 SP2 平面三角形 V形 BF3 3 0 SP2 平面三角形 平面三角形 SO3 3 0 SP2 平面三角形 平面三角形 CO32－ 3 0 SP2 平面三角形 平面三角形 NO3－ 3 0 SP2 平面三角形 平面三角形 NO2－ 2 1 SP2 平面三角形 V形 CO2 2 0 SP 直线形 直线形 BeCl2 2 0 SP 直线形 直线形 HCN 2 0 SP 直线形 直线形

ABn型分子空间构型快速判断方法：

1.