微积分100道例题及解答

考研资料

第一讲

第一章 函数、极限连续（予备知识）

重点：函数性质与函数的图形

函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.

一、函数

（一）函数的概念 1．函数的定义

【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数,记作

y f(x),x D.

x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,y的取值范围即集合 y|y f(x),x D 称为函数的值域.

xoy平面上点的集合 (x,y)|y f(x),x D 称为函数y f(x)的图形.

定义域D(或记Df)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它

们的定义域与对应法则都相同.

2．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.

3．函数定义域的求法

由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值

2006-2007学年第一学期〈微积分(B)I〉期末考试试卷(A)答案

11．(6分)求极限?3?5?x?. lim??x?0?2??1]xx?xx?[3?5??解：原式= lim??1?[?1]??x?0?2??????3x?5x?1?=exp?lim??1???x?0?2??x??00?????[]1x??exp?lim??x?0?1?? x???3xln3?5xln5?1??ln3?ln5??exp?lim??exp?? ???x?022????1??=15

评分:做到第1、2、3、4、5、6个等号后，给到2、3、3、5、6、6分。 2．(6分) 设解：y???12xy?cosx?cosx?cosx，求y?.

sinx?12cosxsinx?14xcosxsinx.

评分: 结论的3项, 1项2分.

?1?x2n??的连续性,如有间断点,判别其类型. ?x3．(7分) 讨论函数f(x)?lim??n???1?x2n???x,?解：f(x)???x,?0,?|x|?1??1?x?1,|x|?1?x?1或x??1, |x|?1?x?1或x??1.显然 f (x ) 在(??,?1),(?1,1),(1,??)连续.

?f(1)?1,f(1)

微积分初步课程教学辅导

《微积分初步》期末复习典型例题

一、函数、极限与连续

（一）考核要求

1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法. 2.了解极限概念，会求简单极限.

3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题

1（1）函数f(x)?的定义域是 ．

ln(x?2)答案：x?2且x?3.

12（2）函数f(x)??4?x的定义域是 ．

ln(x?2)答案：(?2,?1)?(?1,2]

（3）函数f(x?2)?x2?4x?7，则f(x)? 答案：f(x)?x2?3

3??xsin?1,（4）若函数f(x)??x?k,?x?0x?0 ．

在x?0处连续，则k? ．

答案：k?1

（5）函数f(x?1)?x2?2x，则f(x)? ． 答案：f(x)?x2?1 （6）函数y?x?2x?3x?12的间断点是

微积分复习题2（Bus, Eng）

一、填空题

?z1x?y?2z?z?1. z?arctan. 则 ，? 0. ? ?x?y?x1?x2?x1?xy2. 设u?f(x,y,z),z?x2siny,则

?u?u?f1??2xsinyf3? ,? f2??x2cosyf3?. ?x?y?z1?y?z1?x， ???xz?2?y2?z3. z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?2x?2y?4z?10确定. 则

4. 空间曲线L:x?t,y??2t2,z??3t2在点M(1,?2,?3)处的切线为 ；法平面为 （

x?1y?2z?3，x?4y?6z?27?0） ??1?4?65. 曲面S:x2?2y2?3z2?21上点(1,2,2)处的单位法向量为 （?(146,,)） 5353536. D是由直线y?a,y?x,x?2a围成的区域，则??Dydxdy?7. 8.

23a 3?0dx?022x?x2xydy在极坐标中的二次积分为?02d??01y?2cos??3sin?cos?d?

?01dx?2x3sin(y3)dy=?dy?x0?10x3sin(y3)dx?11313ysin(y)dy?（1?

一、土石方工程清单编制例题

例1：某工程外墙外边线尺寸为36.24m×12.24m，底层设有围护栏板的室外平台共4只，围护外围尺寸为3.84m×1.68m；设计室外地坪土方标高为－0.15m，现场自然地坪平均标高为－0.05m，现场土方多余，需运至场外5km处松散弃置，按规范编制该工程平整场地清单项目。

解：该工程按自然标高计算，多余土方平均厚度0.10m，按题意需考虑外运。

工程量计算：

平整场地：S＝36.24×12.24＋3.84×1.68×4＝469.38m2 分部分项工程量清单 表1－1

计量单工程数位 量 序号 项目编码 项目名称 平整场地，余土平1 010101001001 距离5km处松散弃置 均厚度0.1m，外运m 469.38 2图4－1 例2：如图，某房屋工程基础平面及断面如图，已知：基底土质均衡，为二类土，地下常水位标高为－1.1m，土方含

水率30％；室外地坪设计标高－0.15m，交付施工的地坪标高－0.3m，基坑回填后余土弃运5km。试计算该基础土方开挖工程量，编制工程量清单。

图4－1

解：本工程基础槽坑开挖按基础类

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

第2章 习题参考解答

习题2-1

1、用导数的定义求下列各函数在指定点的导数: (1) f(x)?2x?3, 求f'(2),f'(0);

?yf(2??x)?f(2) ?lim?x?0?x?x?0?x[2(2??x)?3]?(2?2?3)2?x?lim?lim?2 ?x?0?x?0?x?x?yf(0??x)?f(0)[2(0??x)?3]?32?xf?(0)?lim?lim?lim?lim?2.

?x?0?x?x?0?x?0?x?0?x?x?x1b(2) f(x)?ax2?bx?c, 其中a,b,c为常数, 求f'(0),f'(),f'(?).

22a解：f?(2)?lim?yf(0??x)?f(0)(a?x2?b?x?c)?c解: f?(0)?lim ?lim?lim?x?0?x?x?0?x?0?x?xa?x2?b?x ?lim?lim(a?x?b)?b,

?x?0?x?0?x1111abf(??x)?f()[a(??x)2?b(??x)?c]?(??c)1?y2?lim2242f?()?lim?lim2?x?02?x?0?x?x?0?x?xa?x2?(a?b)?x?lim?lim(a?x?a?b)?a?b. ?x?0?x?

综合练习7

1. 填空题： （1） 令un?1(x)?xnx2n?22?nu(x)2n?22n?2?1时级数收敛，，则limn?1，故x?xn??u(x)n?1时级数发散，故所求收敛半径为1．

?111n（2） 因为?，利用dx??C?x,x?1，可得 ?23?x1?x(3?x)n?0?11xnxdx??C??C,?1，从而， ?n?1?(3?x)23?x33n?0?1nxn?1??n?1,x?(?3,3)． 2(3?x)n?13?（3） 因为级数?(an?1?an)收敛，故其部分和数列Sn?an?1?a1极限存在，所

n?1以极限liman存在．

n??（4） ?an收敛，且an?0，故由级数收敛的必要条件知，liman?0，从而，

n?1n????11lim??，故级数?必发散． n??an?1ann????（5） ?an(x?1)n?1?2n=?an[(x?1)]在x?2条件收敛，故?an收敛，?an发

2nn?1n?1n?1散，即?anyn的收敛半径为R?1，由(x?1)2?1，解得0?x?2，且在

n?1x?0，x?2时级数?an(x?1)2n收敛，故所求收敛域为[0,2]．

n?1?（6） 令un?1(x)?102n(2x?3)2n?1，