多元隐函数偏导数为什么不能两边求偏导

Lihai--

2010.03.06 Math School, Sichuan University

大学数学Ⅱ: 微积分(2)

数学学院李海

Cell phone: 13550068363email: alihai@

2010-4-23Mathematics II: Calculus (2)

Lihai--2

2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数

Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

由方程确定的函数关系

Example0: 很多联系两个变量的函数关系往往由二元方程来确定, 例如:

222x+(y－b)=r

表示一个圆, 当r=C时也可以解出函数关系,如:

在绿色区域:y=b±在红色区域:x= 又如: xy=C表示一对双曲线

.

方程参数的影响

Example0+: 方程参数的赋值范围, 往往影

响函数关系的成立区域. 如果方程为:

e

x

++

C=0 则当参数C<0时, 此方程决定一个实函数:

而当参数数. 若在复数域上建立函数关系C>0时, 此方程不能决定一个实函

, 不受限制

.

Lihai--2010.03.0

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

祁丽梅

赤峰学院数学与统计学院 ，赤峰 024000

摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。

关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微

一、引言

多元函数微分学是数学学习中的重要内容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

可微的必要条件：

若二元函数在p0?x0,y0?可微，则二元函数z?f?x,y?在p0?x0,y0?存在两个偏导数，且全微分

dz?A?x?B?y中的A与B分别是A?fx??x0,y0?与B?fy??x0,y0?

其中?x,?y为变量x,y的改变量，则?x?dx,

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,

《数学分析II》第6讲教案

第6讲 多元函数的偏导数与微分

授课题目 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 多元函数的偏导数与微分 1. 多元函数偏导数的定义；2. 多元函数可微性与全微分；3. 函数可微的必要条件与充分条件；4. 可微性的几何意义. 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数偏导数、可微性与全微分的概念，熟记可微的必要条件与充分条件，了解切平面存在定理及其证明． 教学重点：多元函数偏导数、可微性与全微分的定义； 教学难点：多元函数可微的充分条件的证明. (1) 本节的重点是多元函数偏导数、可微性与全微分的定义，讲授时一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的联系，另一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的区别． (2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系，并通过一些例题讲授使学生加深理解． (2) 从另一个角度引入曲面S在点P0的切平面概念，强化学生数学建模能力. 作业布置 作业内容：教材 P116:1（4，6，9），2，3，6，8（2），12. 讲授内容

一、偏导数

定义 设函数z?f(x,y),(x,y)?D.若(x0,y0)?D

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）

一．累次极限与重极限

11?xsin?ysin,x?y?0?例.1 f?x,y?=?yx?0,x?y?0?例.2

?3xy?f(x,y)??x2?y2??0x2?y2?0x2?y2?0

x2y2例.3 f(x,y)?22，证明：limlimf?x,y??limlimf?x,y??0，而二重极限2y?0x?0x?0y?0xy?(x?y)limf?x,y?不存在。

x?0y?0

一般结论：

重极限与累次极限没有关系

重极限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)与累次极限limlimf(x,y),x?x0y?y0y?y0x?x0limlimf(x,y)均存在，则有 (x,y)?(x0,y0)limf(x,y)=limlimf(x,y)?limlimf(x,y) x?x0y?y0y?y0x?x0

x?x0y?y0limlimf(x,y),y?y0x?x0limlimf(x,y)均存在但不等，(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)不存在

二．多元函数的极限与连续，连续函数性质

例.4 求下列极限：

（1）

(x,y)?(1,0)lim(x?y)limx?y?1x?y?1； （

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x

制动跑偏原因分析及预防、解决措施

摘要

本文从近年来交通事故的频频发生引出了其原因之一——制动跑偏，继而对制动跑偏进行了概念方面的概括，出现原因的分析，以及针对各种原因需要采取的消除措施。

关键词：制动跑偏、原因、分析、消除措施。

? 引文

据《2004中国汽车工业年鉴》资料表明，我国属于汽车交通事故严重发生区，从每万辆车辆保有量死亡的人数来看，我国高达到44.58人，美国仅1.83人，全球平均约4人。从1998年至2003年，因交通事故造成死亡累计达57.51万人，受伤人数253.03万人，直接经济损失165.03亿元。

近年来，我国平均每年有10万人在交通事故中丧生。道路交通事故已成为威胁人们生命安全的头号“杀手”。事故带来的灾难，使一个个家庭陷入了不幸的痛苦之中。人们对出行安全的渴盼，成为社会公共安全的重要话题。

目前，交通管理工作仍道远任重，归纳起来尚有几方面问题： 1．对违章处理不规范。在交通秩序管理中，由于一些交警在路面执法过程中重处罚轻记分，默认了某些驾驶员的违章行为。成为驾驶员违章率居高不下的主要原因之一。而驾驶员违章被查后，面对罚款和记分，总是选择交罚款，而交了罚款后却心中气不顺。同时，个别执法者业务素质不

【090201】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】

?z?x2?y2【试题内容】求曲线?上的点(1,6,37)处的切线的斜率。

?y?6【试题答案及评分标准】

k?zxx?1y?6?2xx?1?2

10分

【090202】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】

?x3?y3?xy?2设f(x,y)??x?y2??0【试题答案及评分标准】 解：lim

?x?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，根据偏导数定义求fx(0,0),fy(0,0)。

f(0??x,0)?f(0,0)??x?lim??1 ?x?0?x?xfx(0,0)??1

5分

?y?0limf(0,0??y)?f(0,0)??y?lim??1 ?y?0?y?y

10分

fy(0,0)??1

【090203】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】

?x2?2y2?【试题内容】设f(x,y)??x?y??0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，根据偏导数定义求

fx(0,0),fy(0,0)。

【试题答案及评分标准】

?x

《数学分析II》第8讲教案

第8讲 高阶导数与二元函数极值

授课题目 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 高阶导数与二元函数极值 1. 多元函数的高阶偏导数；2. 二元函数的二阶混合偏导数相同的充分条件；3. 二元函数的中值定理； 4. 二元函数的泰勒公式；5.二元函数极值. 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数的高阶偏导数的计算方法，掌握二元函数取极值的必要和充分条件，了解二元函数的中值定理，了解二元函数的泰勒公式. 教学重点：多元函数的高阶偏导数的计算； 教学难点：二元函数取极值的充分条件，二元函数的中值定理. (1)本讲重点是多元函数的高阶偏导数的定义及计算，通过例题讲授讲清方法和思想，采用边讲边练教学方法，同时要布置适量的求多元函数的高阶偏导数习题，使学生达到熟练掌握． (2)二阶混合偏导与求导次序无关的定理证明是教学难点，我们可以先讲二元函数的中值定理，应用二元函数的中值定理来证明二阶混合偏导与求导次序无关的定理，布置有关习题． (3) 讲清二元函数的极值必要和充分条件与一元函数的联系，可通过举例使学生掌握求二元函数极值的方法. 作业布置 作业内容：教材 P141:1（3，5，6），2，8