阿波罗尼斯圆逆应用

《数学之友》2011年第16期

有关阿波罗尼斯圆的探究及应用

姜卫东

（江苏省扬州中学，225009）

B是平面内的两个定点，初始问题：设A，平面

内的动点C到点A的距离与到点B的距离的比为定值λ（λ＞0），求点P的轨迹．这是一个简单的问题，我们可以通过解析法来处理．可设定线段AB的长2a（a＞0），以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直

0），B（a，0），y）．由角坐标系，这时A（－a，设P（x，CAx+a）+y=λ，=λ，：（1－λ2）x2+得化简得

CBx－a）+y（1－λ2）y2+2a（1+λ2）x+a2（1－λ

2

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．

当

λ

=

1

时

，

方程即为

x

=

0，此时轨迹是y轴，也就是线段AB的中垂线；当λ＞0且λ≠1时，配方整

a（λ2+1）2

+y2=理得：x－2

λ－1

可得性质1．

CN分别是∠ACB及其外角的平分性质2：CM，

线，且CM⊥CN．

AMCA

=在△ABC中，据阿氏圆的定义可知=

MBCBλ．利用平面几何知识可证：CM平分∠ACB，同理可

从而易得CM⊥CN．证：CN平分∠ACB的外角，

2关于阿波罗尼斯圆之应用

对于阿氏圆及其相关性质，在各类考试中都有

所涉及，在解题中有较广泛的应用．2．1

直接考查与阿氏圆有关的轨迹问题

例1如图：圆O1和圆O

阿波罗尼斯圆的应用及探究

引例：(必修2P0)B(3，0)，若动点P满足112第12题)已知平面内两个定点A(0，，PA1?，求点P的轨迹方程. PB2PA1PA?改为?1呢？ 变式1：题目中

PB2PBPA1PA?改为?2呢？ 变式2：题目中

PB2PBPB??（?＞0，且??1）呢？ 变式3：PA结论： ，P点的轨迹是个圆. 变式4：如何求?ABP面积的最大值？

练习1：（2008江苏高考13题）满足条件AB?2，AC?2BC的三角形ABC面积的最大值是

练习2：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t?0),M为线段AD上的动点。若AM?2BM恒成立，则正实数t的最小值为

练习3：（2013高考江苏17题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线

l:y?2x?4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y?x?1上

阿波罗医院医者仁心塑造权威医院!阿波罗医院,是一所集预防、科研、医疗、保健、康复、咨询于一体的专业泌尿系统疾病医疗机构,阿波罗医院与国内外知名医院及学术机构接轨,遵循国际男性疾病诊疗最新标准。

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阿波罗医院拥有国际领先的检验仪器、高精尖的诊疗及治疗设备。秉承严谨求实的科学态度和诚信求精的行医宗旨，全心致力于男性科疾病的研究与临床治疗。以泌尿系疾病治疗为特色的专业男科医院。率先在临床上将男科疾病细分为前列腺疾病、性功能障碍、生殖感染、生殖整形、男性不育、咨询六大专业科室。

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一、阿波罗医院专病专医专治。率先将男科病细分为前列腺、生殖泌尿感染、性功能障碍、生殖整形、男性不育等五个领域，以此组织相应的五大领域知名资深专家，真正做到：专门的病-专门的医生-专业的诊疗，可有效避免错诊、错误治疗或过分治疗。

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根本原因分析 阿波罗法 RCA

Root Cause Analysis Apollo Methodology

根本原因分析 阿波罗法

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Why RCA ?????……..Prevailing most common industrial situation 为何RCA?????………广泛适用

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根本原因分析 阿波罗法 RCA

Why RCA … Contd.. ? RCA为何环环相扣？ 为

阿波罗载人登月工程开始于1961年5月，1969年7月20日阿波罗11号载着3名美国宇航员首次实现登月。此后，美国又相继6次发射“阿波罗”飞船，其中5次成功，总共有12名航天员登上月球。整个工程历时约11年，到1972年12月结束，耗资255亿美元。在工程高峰时期，参加工程的有2万家企业、200多所大学和80多个科研机构，总人数超过30万。它是本世纪人类最宏伟的工程之一。

E-mail文化传播网

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谢谢观赏

制作：SLQ

音乐：梦幻曲

图片来源：网络2013-07-2

阿波罗载人登月工程开始于1961年5月，1969年7月20日阿波罗11号载着3名美国宇航员首次实现登月。此后，美国又相继6次发射“阿波罗”飞船，其中5次成功，总共有12名航天员登上月球。整个工程历时约11年，到1972年12月结束，耗资255亿美元。在工程高峰时期，参加工程的有2万家企业、200多所大学和80多个科研机构，总人数超过30万。它是本世纪人类最宏伟的工程之一。

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图片来源：网络2013-07-2

专题4 阿波罗尼斯圆与隐性圆问题

-2017-2018学年江苏高一下学期数学期末复习备考（必修2）

一、 填空题

1.如果圆(x－2a)2＋(y－3a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________． 解析：原问题可转化为：圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4和圆x2＋y2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d＝

6

＝，由两圆相交可得2－1<＜2＋1，解得－5

2.(2017·南通二模)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围是________．

又BC2＝4(4－OP2)， OP∈2， 则BC∈ [4，

4]＝[－，＋]．

法二：设BC的中点为M(x，y)，因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，有4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简

112312

得2＋(y－2)＝2，所以点M的轨迹是以2为圆心，2为半径的圆，所以AM的取值范围是2，所以BC的取

值范围是[－，＋]．

y－2

3.已知x，y满足0≤x≤，则x－3的取值范围是________．

y－2

解析：由已知得x＋y≤4(x≥0)，则点(x，y)在以(0,0)为圆心，2为半径的右半圆内，x－3＝

【翻译】阿波罗20号宇航员-威廉.劳德里奇访谈录《月球上的外星飞船》2010-07-23 12:26

感谢俺亲爱的“Koori”给予的支持和鼓励，此外她负责了这篇译稿的校对，辛苦了。

前言：自从auagate上传了阿波罗20号中文标注视频后，关于阿波罗20号的质疑与信息挖据就从未停止，由于大量信息来自外文网站，限制了国内朋友的了解，因此也出现了许多翻译志愿者，为帮助大家了解真相而无偿工作。20号的视频来源于YOUTUBE，而此后，意大利自由记者Luca Scantamburlo对视频上传者--威廉.劳德里奇（阿波罗20号宇航员）做了书面采访和大量的信息调查，并通过其网站对外公布，通过auagate提

供

的

Luca

网

址

（http://www.angelismarriti.it/ANGELISMARRITI-ENG/home-ENG.htm）可以找到这些视频之外的信息，而我也选取了一篇对W.R的采访进行了翻译，希望大家可以了解到事件的原委，后来发现其中有部分内容在AUAGATE的视频中有提及，故也做了参考，英

文

原

文

地

址

如

下

：

http://www.angelismarriti.it/ANGELISMARRITI-ENG/REPORTS_ARTICL

矩阵的逆的研究及应用

摘要

本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。

关键词：矩阵 矩阵的逆 线性方程组 保密通信

Research and application of inverse matrix

Summary: This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properti

中考复习资料

1、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO． （1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，

2

且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．

3

2、已知：如图，在△ABC中， ACB 90，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O． （1）求证:AC是⊙O的切线；

（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12. 求

EF

的值. AC

A

3、2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，在加工了300顶帐篷后，由于情况紧急，该厂又增加了人员进行生产，将工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务．问该厂原来每天加工多少顶帐篷．

4．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠A=60°，BC=4，求CD的长．

中考复习资料

5、已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；