初等函数的幂级数展开手写笔记

一、 泰勒级数

在泰勒定理中曾指出，若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则：

f''(x0)f(n)(x0)2（1） (x-x0)+?+(x-x0)n+Rn(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!n!'这里Rn(x)为拉格朗日余项

f(n+1)(?)（2） Rn(x)=(x-x0)n+1

（n+1）!其中，?在x与x0之间，称（1）为f在x0的泰勒展式。

如果在（1）中抹去余项Rn(x)，那么在x0附近f可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f在x=x0处存在任意阶的导数，这时称形式为

f''(x0)f(n)(x0)2 f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)+?+(x-x0)n+? （3）

2!n!'的级数为函数f在x0的泰勒级数，对于级数（3）是否能在x0附近确切的表达f,或说f在x0的泰勒级数在x0附近的和函数是否就是f，这就是下面要讨论的问题。

先看一个例子： 例1 由于函数

?-x12?f(x)??e,x?0

??0,x?0在x=0处任何阶导数都等于0，即

f(n)(0)=0,n=1,2,?

所以f在x=0的泰勒

幂级数展开的多种方法

摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结

关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开

在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：

定理 1（泰勒定理）设f?z?在区域D内解析，a?D，只要圆K:z?a?R含于D，则f?z?在K内能展成幂级数f?z???c?z?a?，其中系数

nnn?0?cn??d?n?1?2?i????a?1f???f?n??a?n!.（?:z?a?? 0???R n=0,1,2?)且展式唯

一.

定理2（洛朗定理）在圆环H:r?z?a?R （r?0 R???）内解析的函数

f?z?必可展成双边幂级数f?z????n???cn?z?a?n，其中系数cn??d? n?1?2?i????a?1f??(n?0,?1,?2? ?:z?a?? r???R) 且展式唯一.

这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展

常见幂级数求和函数方法综述

引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。

幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容

CH 4 级数

1、复数项级数

2、幂级数3、泰勒(Taylor)级数

4、罗朗(Laurent)级数

第四章幂级数

§4.1 复数项级数

1. 复数列的极限

2. 级数的概念

26 December 2013

© 2009, Henan Polytechnic University

2 2

第四章幂级数

1. 复数列的极限

定义 设复数列：{ n }( n 1,2, ), 其中 n=an ibn , 又设复常数： a ib,

若 0, N 0, 当 n N , 恒有 n ,

那么 称为复数列 { n }当n 时的极限， 记作lim n , 或当n 时， n ,n

定理1 lim n lim a n a , lim bn b. n n n 证明 “ ”已知 lim n 即，n

此时，也称复数列 n }收敛于 . {

0, N 0, n N , 恒有 n 26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic Uni

幂级数求和函数方法概括与总结

1

常见幂级数求和函数方法综述

引言

级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。

幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容

第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开一、数项级数的审敛法√

二、求幂级数收敛域的方法4、5、7节

三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、幂级数和函数的求法 求部分和式极限 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 (在收敛区间内)

n 0

an xS (x)

n

逐项求导或求积分

n 0

an x n

难

求和

对和式积分或求导

S * ( x)

数项级数 求和

直接求和:

求部分和等

间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值机动 目录 上页 下页 返回 结束

常用函数的幂级数(或常用幂级数的展开式)

1 2 1 n e 1 x x x , 2! n!x

x ( , )

( 1) n n 1 ln(1 x) x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 x n 1 2 3 4 x ( 1, 1] 5 7 2 n 1 3 x x x n x ( 1) sin x x 5! 7 ! (2n 1) ! 3! x ( , ) x2 x 4 x6 x

题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] (A) ??1,1? (B) ??1,1? (C) ??1,1? (D) ??1,1?

答( )

(2分)[3] 设级数?bn?x?2?n在x??2处收敛，则此级数在

n?0?xn函数项级数?n?1n?的收敛域是

x?4处

(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( )

(3分)[4]设级数?an?x?3?n在x??1处是收敛的，则此级数在

n?0?x?1处

(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛；

(D)不能确定敛散性。

答：( ) (2分)[5]设级数?an?x?1?n的收敛半径是1，则级数在x?3点

n?0?(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。

题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] (A) ??1,1? (B) ??1,1? (C) ??1,1? (D) ??1,1?

答( )

(2分)[3] 设级数?bn?x?2?n在x??2处收敛，则此级数在

n?0?xn函数项级数?n?1n?的收敛域是

x?4处

(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( )

(3分)[4]设级数?an?x?3?n在x??1处是收敛的，则此级数在

n?0?x?1处

(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛；

(D)不能确定敛散性。

答：( ) (2分)[5]设级数?an?x?1?n的收敛半径是1，则级数在x?3点

n?0?(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。

函数概念与基本初等函数

第1课时 函数及其表示

基础过关 一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数

1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .

2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有 、 、 。

典型例题 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.

xA. y?1,y? B. y?x?1?x?1,y?x2?1xC. y?x,y?3x3 D. y?|x|,y?(x)2解：C

变式训练1：下列函数

初等代数中的超越函数的解法

初等代数研究 学号:201108140414 班级:数信院2011级4班 作者:李臣杰 初等代数中的超越函数的解法

班级：数学与信息学院2011级4班

学号：201108140414

姓名：李臣杰

摘要：众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法和启示。而超越函数是初等函数中的一个难点。

关键词：初等函数、超越函数、解法

牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函数的原函数不能用初等函数表示，如

sinx1?x2，，e等函数. 在阻尼振动、热传导与正xlnx态分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.

在大学数学课程的学习中，我们已经掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.

五种解法

(1)基于幂级数展开法求积分

引理1 若函数项级数

[1]

?u?x?在区间?a,b?上一致收敛，且每一项都连续，则

n?? 例1 求定积分

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