行列式测试题带答案

第九讲

行列式单元测试题点评

一、填空题（每小题2分，满分20分）

1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为 偶 排列，奇排列经过偶数次对换变为 奇 排列；

3. 行列式D和它的转置行列式D?有关系式D?D? ； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于 零 ；

6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边；

7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式 的值不变 ；

8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 零 ；

a1109. ?a12?a1na22?a2n?0???ann?a11a22?ann;

0kk2?1410.当k=时，42k?5。

2

1

二、判断题（每小题3分，满分24分）

1.若?(i1i2?in)?k,则?(i2i1i3?in)?k?1 （∨）

a112.设D?a21?an1a

第九讲

行列式单元测试题点评

一、填空题（每小题2分，满分20分）

1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为 偶 排列，奇排列经过偶数次对换变为 奇 排列；

3. 行列式D和它的转置行列式D?有关系式D?D? ； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于 零 ；

6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边；

7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式 的值不变 ；

8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 零 ；

a1109.

a12a220a1na2nann?a11a22ann;

0kk2?1410.当k=时，42k?5。

2

1

二、判断题（每小题3分，满分24分）

1.若?(i1i2?in)?k,则?(i2i1i3?in)?k?1 （∨）

a112.设D?a21?an1a12??a1n?

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

第一章 行列式试题及答案

一 选择题 (每小题3分，共30分)

⑴ n元排列 i1 i2… in经过相邻对换，变为in … i2 i1，则相邻对换的次数为( )

(A) n (B) n/2 (C) 2n

(D) n(n-1)/2

2x1?1⑵ 在函数f?x???2x?x4x中，x3的系数是( )

12x (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

⑶ 若Dn=det(aij)=1，则det(－aij) = ( )

(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n

(D) (-1)

n(n-1)/2

?1?1⑷ 设

?2???2?，则n不可取下面的值是( )

?n?n(A)7 (B) 2k

+1(k2) (C) 2k

(k

2) (D) 17

⑸ 下列行列式等于零的是( )

3210030?103?16(A)?321 (B) 0?10 (C) 300 (D) 224

001130001162⑹ 行列式D非零的充分条件是( ) (A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例

(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式

一．选择题

121．若行列式153?2 = 0，则x? [ C ] 25x（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

?x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?42?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶行列式

厦门理工

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式15x3??2 = 0，则x? [ C ]

25（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

??x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?4?2?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于

行列式的计算方法

摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法

行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法

根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式

行列式发展历史

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。

1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer，1704～1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730～1783) 将确定行列式每一项符号的方法