等比数列的性质及应用例题解析

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am；

n?m2A?a?b

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?（2） 等差中项：数列

?a

等比数列知识点并附例题及解析

1、等比数列的定义：2、通项公式：

an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q qana?q?n?mn amaman?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?ab或

A??ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式：

（1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'为1?q1?q常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或为等比数列

（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 （3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列 6、等比数列的证明方法：

an?1?q(q为常数，an?0)?{an}an依据定义：若

an

2.4.2等比数列的性质

一、旧知复习等差数列一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列

定 义

符号 a a d n N n 1 n 语言

a n 1 an

q n N , q 0

通项 a a n 1 d n 1 公式

a n a1 q

n 1

例1:在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an

解： =a q2=4a =20 a3 1 1

所以 a1=5

a6=a1

q5=5×32=160n 1

a an 1

a3=a1q2 , a6=a1q5 an=a1qn-16

q 83

3

所 以 a n a1 q

5 2

.

a6=8×20=160a an

q

n 3

2

n 3

还有其他方法吗想一想

3

an=20×2n-3=5×2n-1

证明设等比数列

a n 的首项为n 1

a 1 , 公比为 q ,m 1

则有 a n a 1 q 从而 an am q

《等比数列》说课稿

尊敬的各位老师：

大家好!

我今天的说课内容是《等比数列》的第一课时。本节课我尝试用新课标的理念来指导教学，以问题串的形式引领学生，激发学生的兴趣，力图做到使学生面对问题而不是面对习题，从而达到新课程标准中提出的“关注学生体验、感悟和实践活动”的要求。下面我从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程、教学评价和教学反思六个方面进行一下说明。 一、教材分析：

1、教材的地位和作用：

数列内容是高中代数部分的重要内容，它既联系着函数和方程的有关知识，又为解决数列的研究性课题和以后进一步学习数列的极限打下基础，更是高等数学的基础知识，具有承上启下的重要作用，因此也是高考的热点内容之一。《等比数列》作为《数列》这一章中两个最重要的数列之一，它的研究和解决集中体现了研究《数列》问题的思想和方法，对提高学生用函数的观点和方程的思想解决问题的能力以及提高学生分析、猜想、概括、总结、归纳的综合思维能力有着重要的作用，同时，也能大大培养学生的探索精神和参与意识，突出课堂教学“以学生为主体，教师为主导”的新课程理念。

2、教学重点与难点：

本节课的教学重点为：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并

[课题] 2.3.2等比数列的通项公式及性质

[知识摘记]

1. 等比数列的性质：

（1）an amqn m（m,n N ）；

(2）对于k、l、m、n∈N*，若m n p q，则.；

（3）每隔k项（k N

（4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

2. (1) 若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}2(2) 若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n 1 a2n}也是等比数列，公比为2.

(3) 若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}(4) 三个数a、b、c成等比数列的，则b ac且abc 0

[例题解析]

2例1（1）在等比数列{an}中，是否有an an 1an 1(n 2)？

2（2）如果数列{an}中，对于任意的正整数n(n 2)，都有an an 1an 1，那么，{an}一2

定是等比数列吗？

例2．已知各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1a5 2a3a5 a3a7 36,并且

，求数列的通项公式. a2a4 2a3a5 a4a6 100

例3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}，且公比和公差均为d(d 0,d 1)，若

，求{an}和{bn}的通项公式。 a1 b1,a3 3b3,a5

第23课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用

一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用

二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解

决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论

1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等差数列． 2．等差数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq 3．等比数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等比数列． 5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an?bn}仍为等差数列．

?an??1?6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、??、??仍为等比数列．

?bn??bn?（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以

[课题] 2.3.2等比数列的通项公式及性质

[知识摘记]

1. 等比数列的性质：

（1）an amqn m（m,n N ）；

(2）对于k、l、m、n∈N*，若m n p q，则.；

（3）每隔k项（k N

（4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

2. (1) 若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}2(2) 若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n 1 a2n}也是等比数列，公比为2.

(3) 若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}(4) 三个数a、b、c成等比数列的，则b ac且abc 0

[例题解析]

2例1（1）在等比数列{an}中，是否有an an 1an 1(n 2)？

2（2）如果数列{an}中，对于任意的正整数n(n 2)，都有an an 1an 1，那么，{an}一2

定是等比数列吗？

例2．已知各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1a5 2a3a5 a3a7 36,并且

，求数列的通项公式. a2a4 2a3a5 a4a6 100

例3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}，且公比和公差均为d(d 0,d 1)，若

，求{an}和{bn}的通项公式。 a1 b1,a3 3b3,a5

5.4等比数列

1． 已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（ ） A． -0.5A．b=3，ac=9 B． ﹣2 B． b=﹣3，ac=9 C． 2 C． b=3，ac=﹣9 D． 0.5D． b=﹣3，ac=﹣9 2． 如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（ ） 3．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则

a2?a1的值是（ b2

）

A.

12 B.?11 C. 22或?11 D.244．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（ ） A． 8 A． 3 A．（﹣2）n1 ﹣B． 16 B． ±3 B． ﹣（﹣2n1） ﹣C． ±8 C． ﹣3 C． （﹣2）n C． 3 C． 36 C． 22 C． ﹣2D． ±16 D． 9 D． ﹣（﹣2）n D． 4 D． 81 D． 9 D． 25．在等比数列{bn}中，b3?b9=9，则b6的值为（ ） 6.等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则an=（ ） 7

等比数列的前n项和（第一课时）

各位老师，下午好！

今天我说课的内容是《等比数列的前n项和》第一课时。 首先，我对本节教材进行分析。 一、 教材分析

等比数列的前n项和是高中必修5第二章第五节内容。它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。它是从实际问题中抽离出来的数学模型，在分期付款等实际问题中有广泛地应用。同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。

二、教学目标

依据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标： 1、

知识与技能目标：理解等比数列前n项求和公式的推导方法，

能够利用公式解决一些简单问题。 2、

过程与方法目标：通过公式推导，提高数学建模意识，体会特

殊到一般的思维方式。 3、

情感与态度价值目标：同过经历对公式地探索，激发学生求知

欲，鼓励学生大胆尝试，并从中获得成功的体验。

三、教学重点与难点

本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点： 重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用。此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。为此，我给出了三种方法来推导公式，加深学生理解，突出重点。

难点：等比数

万智春季高考数学一轮复习

5.4等差等比数列的综合应用

知识梳理

数列应用题常见模型

（1） 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差 （2） 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比， 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）如：分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。 典型例题

题型一 等差数列模型

例1. 为了减少沙尘暴对本城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000

棵，2011年底发现防护林内损失了1000棵，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算： （1）2020年这一年将损失多少棵？

（2）到2020年底，该防护林内共存活多少棵树？

题型二 等比数列模型

例2.某人于2000年1月在银行存入10000元，2001年1月再次存入10000元，此后，每年1月份都存入10000元，设银行利率为a，该人于2010年1月将本息和全部取出，问本息和共多少？

题型三 涉及等差、等