奥数猎狗追兔问题

典型例题：猎狗追赶前方15米处的野兔。猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步。猎狗至少跑出多少米才能追上野兔？

分析过程 猎狗追兔，一般都不给出具体的速度，只会告诉你猎狗跑几步的时间兔子跑几步，猎狗跑几步的距离兔子需要跑几步。通过这两个关系可以求出猎狗和兔子的速度比。

所以，我们根据其他条件，思考怎么把所求结论转化成比例关系。

设猎狗至少跑x米才能追上野兔 则兔子跑了（x-15）m

因为猎狗和兔子同时跑的，所以他们跑的时间相等，则他们的路程比与速度比相等。

所以，把所求的路程，转化成了只需要求狗和兔的速度比。

求狗和兔的速度比是每个猎狗追兔问题的关键，在这里给大家介绍三种求狗兔速度比的方法，大家可以专攻一种方法，对其他方法做简单了解。

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猎狗追兔问题练习题 1.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问；兔子跑出多远将被狗追上？(280)

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2.猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？（126）

3.在一只野兔跑出90米后 猎狗去追它 野兔

1、猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?

2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？

3、一只猎狗发现在离它18米远的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去，猎狗跑2步的路程狐狸需跑3步，若猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，猎狗跑多少米能追上狐狸？

4、一条猎狗追30米外的一只狐狸，狗跳跃一次为2米，狐狸跳跃一次为1米，而狐狸跳3次的时间，猎狗只能跳两次，猎狗跑多少米才能追上狐狸？

5、一只野兔逃出85步后猎狗才追它，野兔跑8步的路程猎狗才需要跑3步，猎狗跑4步的时间野兔能跑9步，问猎狗需要跑多少步才能追上野兔？

6、猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？

7、猎狗前面26步远处有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离。问：兔跑几步后

数学建模论文

《数学建模》（公选课，2014春）课程论文

《数学建模》(2014

题 目 成 员 学生1 学生2 姓 名 春)课程期末论文

题 号 A 联系电话 猎狗追兔子问题 学 号 班 级 学 院

摘要

（一） 对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通

过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。

猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例

子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。

（二） 对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。

关键词

微分方程 导数的几何意义 猎狗追兔子 数学建模 数学软件

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《数学建模》（公选课，2014春）课程论文

一、问题重述

如图1所示，有一只猎狗在B点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方O处，

此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向，距离为150m的洞口A全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。

N 请回答下面的问题：

⑴ 猎狗

数学建模

饿狼追兔问题

摘要

本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。

首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。

其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。

再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。 最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。并将两种方法做相应比较。

结论：野兔可以安全回巢

关键词：算法 高阶常微分方程

§1.1问题的提出

在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野

兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之

前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。 图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动

行程问题

追及问题

1、张明、李军和赵琪三人都要从甲地到乙地，早上6时，张、李两人一起从甲地出发，张明每小时走5千米，李军每小时走4千米，赵琪上午8时才从甲地出发，傍晚6时赵、张两人同时到乙地，问：赵琪什么时候追上李军？

2、家与公园之间的距离为4.8千米，如弟弟从家出发，以每分60米的速度步行公园，哥哥在15分钟后骑自行车从家出发去追赶弟弟，自行车的速度是每分240米，哥哥在离家多远的地方追上弟弟？哥哥追上弟弟后到达公园又折回，过不久与弟弟相遇，那么相遇处离公园多远？

3、张大伯和李叔叔同时从张村去李村，李叔叔到李村后立即返回，在距李村1.8千米处与张大伯相遇，已知张大伯每小时行12千米，李叔叔每小时行15千米，问张村与李村相距多少千米？

4、甲、乙两人骑自行车同时同地从村里出发去上学，明明每小时行15千米，丽丽每小时行10千米，出发半小时后，明明因事又返回村里，并在村里耽误 了半小时，然后动身去追丽丽问几小时能追上？

5、甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时68千米和45千米，它们同时出发从A到B地,出发5小时后,甲遇到迎面开来的小轿车,1小时后乙车也遇到了这辆小轿车,求这辆小轿车的速度.

环行行程问题

6、甲、乙两运动员在周长是800米的环形跑道上竞走，已

张林整理行程问题

行程之追及问题

讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。

行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间

如果用字母s表示路程，t表示时间，v表示速度，那么，上面的数量关系可用字母公式样表示为：s=vt。

行程问题内容丰富多彩、千变万化。主要有一个物体的运动和两个或几物体的运动两大类。两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。

追及问题

追及问题一般是知两个物体同时运动，经过一定时间，后者追上前者的问题。 追及的基本图式：

追及的基本概念：

速度差=快速-慢速。

追及时间指两人（车等）同时行驶的时间，

一般情况下是指后一个追的人（快车等）行驶的时间。

追及路程指原来两人之间间隔的路程，或是后来人（车等）在追及时间内比前一个人多行的路程，共有上图中的三种形式。

追及问题的基本数量关系是：

总路程=追及时间（快车行驶时间）×快车速度=追及路程÷速度差×快车速度 追及路程=速度差×追及时间=先行车的速度×先行时间 速度差=追及路程÷追及时间 追及时间=追及路程÷速度差。

早出发时间=先行总时间-追及时间=总路程÷先行车速度-追及时间=快车速度×追及时间÷先行车速度-追及时间=速度差×追及时间÷

数学建模

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

学 期 姓 名 专 业 班 级 课程名称 数学建模 论文题目 高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题 评定指标 分值 得分 知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 评 结合实际性 10 知识掌握程度 15 定 书写规范性 10 标 工作量 10 准总成绩 100 评语: 任课教师 时 间 09年 月 日 备 注 - 1 -

年珊珊：饿狼追兔问题

饿狼追兔模型研究

摘要：本文建立狼的运动轨迹微分模型；在各种假设的情况下，通过数形结合的直观形象

的画出兔子与狼的运动轨迹图形；采用解析方法和数值方法，研究兔子与狼的运行轨迹，编写matlab程序建立追击问题的数值模型。

关键词：饿狼追兔 数值解析 微分方程 求解

1 问题的背景

1.1 问题的背景

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的

数学建模

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

学 期 姓 名 专 业 班 级 课程名称 数学建模 论文题目 高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题 评定指标 分值 得分 知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 评 结合实际性 10 知识掌握程度 15 定 书写规范性 10 标 工作量 10 准总成绩 100 评语: 任课教师 时 间 09年 月 日 备 注 - 1 -

年珊珊：饿狼追兔问题

饿狼追兔模型研究

摘要：本文建立狼的运动轨迹微分模型；在各种假设的情况下，通过数形结合的直观形象

的画出兔子与狼的运动轨迹图形；采用解析方法和数值方法，研究兔子与狼的运行轨迹，编写matlab程序建立追击问题的数值模型。

关键词：饿狼追兔 数值解析 微分方程 求解

1 问题的背景

1.1 问题的背景

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的

数学建模

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

学 期 姓 名 专 业 班 级 课程名称 数学建模 论文题目 高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题 评定指标 分值 得分 知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 评 结合实际性 10 知识掌握程度 15 定 书写规范性 10 标 工作量 10 准总成绩 100 评语: 任课教师 时 间 09年 月 日 备 注 - 1 -

年珊珊：饿狼追兔问题

饿狼追兔模型研究

摘要：本文建立狼的运动轨迹微分模型；在各种假设的情况下，通过数形结合的直观形象

的画出兔子与狼的运动轨迹图形；采用解析方法和数值方法，研究兔子与狼的运行轨迹，编写matlab程序建立追击问题的数值模型。

关键词：饿狼追兔 数值解析 微分方程 求解

1 问题的背景

1.1 问题的背景

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的

电话：66009388 ( )年级（ ）数学（ ） 李老师 经典专题精讲 第 讲 DSE 金牌数学专题系列 ---植树问题

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一?导入?

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二?知识回顾?

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绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。

先介绍四类最简单、最基本的植树问题。

为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

显然，只有下面四种情形：

(1)非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”＝“段数”- 1。

(2)非封闭线只有一端有“点”时， “点数”=“段数”。

拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。