二次曲线中点弦方程

二次曲线中点弦问题求解方法探析

本科学生毕业论文（设计）

题 目 二次曲线中点弦问题求解方法探析 姓 名 张清玉 学 号 104080406 院 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师（职称/学历）张绍宗（副教授）

2014年 4月 10日

云南师范大学教务处

1

二次曲线中点弦问题求解方法探析

云南师范大学数学学院 本科毕业论文（设计）任务书

系别：数学学院 专业：数学与应用数学 班级：10数E班 学生姓名：张清玉 学号：104080406 论文题目：二次曲线中点弦问题求解方法探析 一、毕业论文（设计）的目的

（一）培养学生综合运用所学知识进行科学研究和独立分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的科学态

§5.6 二次曲线方程的化简与分类

一、平面坐标变换

1. 移轴和转轴：

如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x?, y?)，则移轴公式为

或

式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为

或

式中?为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.

2. 一般坐标变换公式为

或

3. 设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线

l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0,

其中 A1A2＋B1B2＝0，如果取 l1 为新坐标系中的横轴O?x?，而直线l2为纵轴O?y?，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x?，y?), 则有

其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.

二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响

1．在移轴 的方程变为

下，二次曲线F(x, y)?a11x + 2a12xy+a22y+2a13x+2a23y+a33=0

2

2

即新方程为 这里

因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：

（1）二次项系数不变；

（2

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 例1 过椭圆

164

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

xx8(2k2 k)1 2 4k2

1

， x2 又M为AB的中点，所以

1 x24(2k2 k)

4k2 1

2， 解得k 1

2

，

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1 x2 4，y1 y2 2，

又A、B两点在椭圆上，则x2

1 4y2

2

2

1 16，x2 4

Ｘ

圆锥

’

线差

Ａ（２，１），所以ｚ，＋ｘ２一玉兹煞娑＝４，

所以ｋ＝－－詈，直线方程为ｙ－－ｌ一一詈（ｚ一２），即

９ｚ＋８ｙ－－２６＝０．

巾点题的曲弦逦法去

‘，

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来，相互转化，进而求解；另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算．

■ｒ’，．

◇河北张艳红

名例２已知双曲线ｚ２—２ｙ２—４，求以（１，１）为中

点的弦的长度．

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一，这部分内容是对数学知识的综合考查，注重对数学思想和方法的运用，因此考生接受起来比较困难，但我们只要掌握解此类题的通性通法，淡化特殊技巧，便可使复杂问题简单化．下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法．１通法归纳

１）韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．

２）点差法

２（ｙ｝一ｙ２）．故此弦斜率志一ｚＹｌ一－ｚＹ．＿＿丝ｚ２＝淼＝２１．

雁＝Ｊ４－４ｘ（－９）一＿√ｌ＋｛一５抠．

决，这就是“点差法”的灵活应用．

■Ｐ’，

Ｑ／解析

依题意，设弦端点为Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙｚ），则ｚ－－２ｙｉ一４，ｚ；一２ｙ；－－－－４，所以ｚｉ—ｚ；一

此弦直线方

Ｘ

圆锥

’

线差

Ａ（２，１），所以ｚ，＋ｘ２一玉兹煞娑＝４，

所以ｋ＝－－詈，直线方程为ｙ－－ｌ一一詈（ｚ一２），即

９ｚ＋８ｙ－－２６＝０．

巾点题的曲弦逦法去

‘，

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来，相互转化，进而求解；另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算．

■ｒ’，．

◇河北张艳红

名例２已知双曲线ｚ２—２ｙ２—４，求以（１，１）为中

点的弦的长度．

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一，这部分内容是对数学知识的综合考查，注重对数学思想和方法的运用，因此考生接受起来比较困难，但我们只要掌握解此类题的通性通法，淡化特殊技巧，便可使复杂问题简单化．下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法．１通法归纳

１）韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．

２）点差法

２（ｙ｝一ｙ２）．故此弦斜率志一ｚＹｌ一－ｚＹ．＿＿丝ｚ２＝淼＝２１．

雁＝Ｊ４－４ｘ（－９）一＿√ｌ＋｛一５抠．

决，这就是“点差法”的灵活应用．

■Ｐ’，

Ｑ／解析

依题意，设弦端点为Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙｚ），则ｚ－－２ｙｉ一４，ｚ；一２ｙ；－－－－４，所以ｚｉ—ｚ；一

此弦直线方

nnn

2 2

数学通讯

2 0年第 l期 07 0

二次曲线内接最大三角形探析陶楚国(襄攀市长虹北路地矿所学校，湖北 415) 4 0 7

探求二次曲线的内接最大三角形是研究二曲线的一个重要方面，可以想象，抛物线、双曲线的内接三角形的面积可以无穷大 .此，文只讨论封闭二次因本—

当 S c一 3 。 . y; 2△ 4R时 3 3 R—y. R+一 2 R一一

.

曲线 (、圆 )的内接三角形 .圆椭 1圆内接最大三角形 如图 lB是半径为 R的，C圆 O的任一弦， B为一边的以 C圆内接最大三角形的高 AE必在 B的中垂线上 . B大小 C若 C变化。 A C的面积也随之变△ B化 . B= z D= y则根据设 E,E .相交弦定理有 .一 y 2 2 7 (R— ),=

即一要，: z=

=: R此， 要，时A B

A一√ . C

这是“内接三角形中正三角形的面积最大”圆

的一个代数证明. 2椭圆内接最大三角形 一

2

.2 .

。D

/=

设椭圆方程为 a+告 oln> b> O,考虑两 ( )先

J l

A

图 1

S加△ c=￣ (R— Y ( R— Y/ 2 ) 2 )=

1 f3 (R- y (R~ ) f y 2— ) 2—√3

种特殊位

有效构建 合作探究优化课堂

“中点弦”问题的一种简捷解法

所谓“中点弦”问题是关于圆锥曲线上两点的中点(已知或等求)一类问题的统称, 在解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型,很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量比较大,本人试图通过一些实例,介绍一种简捷的解法,供诸位读者参考. 例１．椭圆

x

2

16

y

2

4

1的弦AB被点Ｍ(2,1)平分，求弦AB所在的直线方程.

分析:本题的关键是求出弦AB所在直线的斜率.

解:方法Ⅰ.设直线的斜率为k, (显然k存在且不等于0),则直线方程与椭圆方程联列有: y 1 k x 2 22

2消去变量y,得方程1 4kx 8k 1 2k x 16k k 1 0 (※) x2y 1

4 16

(※)中的两根x1,x2分别是直线上两点A,B的横坐标.由已知条件有:

x1 x2

8k(1 2k)1 4k

2

2 2 k

12

弦AB所在的直线方程为:x 2y 4 0.

方法Ⅱ.设A,B两点的坐标为A x1,y1 ,B x2,y2 .代入椭圆方程x2 4y2 4中得

22

x1 4y1 4

两式相减得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 2

2

x2 4y2 4

x1

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

齐次弦振动方程的MATLAB解法

【摘要】

弦振动问题是一个典型的波动方程的建立与求解问题。本文通过利用MATLAB特有的方程求解与画图功能，有效地构造和求解了齐次弦振动方程。并通过图像，可以直观感受方程的解，从而加深对这一问题物理意义的理解。

【关键词】

振动方程 MATLAB求解 数学物理方法

【正文】

在细弦上任意取微元分析其受力情况，通过Newton定律建立细弦振动的运动方程，可以求得弦振动的泛定方程为utt?a2uxx。

要得出振动方程的解，除了泛定方程外，我们还需要知道具体问题的初始条件与边界条件。在弦振动问题里，初始条件可以从初始位移和初始速度考虑，即：

??u???utt?0t?0??(x)??(x)

边界条件是描述物理问题在边界上受约束的状态，在弦振动方程里可以归结为三类边界问题：

1

（1） 第一类边界问题：u（2） 第二类边界问题：uuxx?Lx?0?0,ux?L?0, 称为固定端。

F(t),特别的，若F(t)?0，SYx?0?0,uxx?L??0,称x?L为自由端。

（3） 第三类边界问题：第一类和第二类边界问题的线性组合。

一、 两端固定的弦振动问题

两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下：

??u2

齐次弦振动方程的MATLAB解法

【摘要】

弦振动问题是一个典型的波动方程的建立与求解问题。本文通过利用MATLAB特有的方程求解与画图功能，有效地构造和求解了齐次弦振动方程。并通过图像，可以直观感受方程的解，从而加深对这一问题物理意义的理解。

【关键词】

振动方程 MATLAB求解 数学物理方法

【正文】

在细弦上任意取微元分析其受力情况，通过Newton定律建立细弦振动的运动方程，可以求得弦振动的泛定方程为utt?a2uxx。

要得出振动方程的解，除了泛定方程外，我们还需要知道具体问题的初始条件与边界条件。在弦振动问题里，初始条件可以从初始位移和初始速度考虑，即：

??u???utt?0t?0??(x)??(x)

边界条件是描述物理问题在边界上受约束的状态，在弦振动方程里可以归结为三类边界问题：

1

（1） 第一类边界问题：u（2） 第二类边界问题：uuxx?Lx?0?0,ux?L?0, 称为固定端。

F(t),特别的，若F(t)?0，SYx?0?0,uxx?L??0,称x?L为自由端。

（3） 第三类边界问题：第一类和第二类边界问题的线性组合。

一、 两端固定的弦振动问题

两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下：

??u2