群论讲什么

第5讲：群论与配位化合物的异构现象

1.常见配位化合物的异构现象（单齿配体）

1.1四配位化合物的异构现象 1.1.1平面方形

配 合 物 立体异构体数 几何异构体数

对映体数 顺反异构体数

Ma4 1 1 Ma3b 1 1 Ma2b2 2 1 Ma2bc 2 1 Mabcd 3

3

1.1.2 四面体

配 合 物 立体异构体数

几何异构体数Ma4 1 1 Ma3b 1 1 Ma2b2 1 1 Ma2bc 1 1 Mabcd

2

1

1.2.五配位化合物的异构现象（三角双锥）

配 合 物 立体异构体数

几何异构体数Ma5 1 1 Ma4b 2 2 Ma3b2 3 2 Ma3bc 4 3 Ma2b2c 4 3 Ma2bcd 10 7 Mabcde 20

10

1

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0

对映体数 0 0 0 0 1

对映体数 0 0 1 1 1 3 10

1.3.六配位化合物的异构现象（八面体）

配 合 物

立体异构体数

几何异构体数

对映体数

Ma6 Ma5b Ma4b2 Ma3b3 Ma4bc Ma3bcd Ma2bcde Mabcdef Ma2b2cd Ma2b2c2 Ma3b2c

1 1 2 2 2 5 15 30 8

物理学院04级研究生群论试题

（2005年1月）

一（30分）

1. 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理；如何确定一个群的不等价不可约表示的数

目，不可约表示的维数与群的阶有什么关系。 2. 简述由第一类点群求出所有第二类点群的一般方法；写出二面体群D4和D5的所有群元及

共轭类分割；写出由D4得到的第二类点群和其熊夫利符号。

3. 简述由杨图、杨盘以及杨算符的方法求置换群的所有不等价不可约表示的一般原理和方

法；求出Sn群的杨图[1n]对应的不可约表示。

二（10分）对于一个任意n阶群，求出其正则表示的特征标；若该群的所有不等价不可约表示的维数为s1,s2,?,sq，试证明s1?s2???sq?n。

三（30分）如右图(a)所示，矢量a1、a2、a3为正三角形中的三个单位矢量，O为正三角形中心，满足a1＋a2＋a3＝0。

1． 选择三个矢量中的任意两个作为基，给出点群C3v各

群元的表示矩阵。

2． 写出C3v群的特征标表，判断1中得到的表示是否可

a3(a)(b)222a2oeya1oex约。

3． 按图(b)所示的正交单位基矢量ex、ey作为表示空间的新基，求联系这两套基{ex, ey}与{a1,

a2}的变换矩阵T：(ex ey)＝(

群论

2006.12

1． 写出C4v对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：

（1） C4v的不变子群H的不变子群K不一定是C4v的不变子群。 （2） C4v的不变子群的交集仍是C4v的不变子群。

2． 试由

0 1

1 0

和 i0

i

生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类，但与C4v不同构。 0

（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C4v中只有2个）

3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel群。

4． （1）设a2=b3=(ab)2=e,由a，b生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。

（2）若a，b乘积可对易，且a=b=e,证明a，b生成的群定是循环群。

5． 叙述同态核定理，并加以证明。

6． 若G群是2n阶的，H为G的n阶子群，则H必为G的不变子群。其商群必为二阶循

环群。

7． 若群G=H K，试证明（1）商群G/H与K同构;（2）群G的类数等于两因子群类数

之积。

8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。

（2）证明置换群Sn中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。 9．（1）设a,b,c为群元，试证 abc,bca,cab同阶。 （2）证明下列循环积恒等式：

2

3

ab a X

第二章 群论

自测练习

一、概念解释

1. 置换 2. 群的方程定义 3群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数 二、判断题

1.对于群G的任意两个元a,b来说，方程ax?b和ya?b都在G中有解。 2.任何一个子群都同一个变换群同构。

3. 设H1,H2均为群G的子群，则H1?H2也为G的子群。 （ ） 4. 群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。（ ） 5.S4的置换????2??1234??是一个4—循环置换。 ?143?6. 群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。 三、选择题

1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。

A. (N,?) B. (Q,?) C. (Z,?), 其中是非零整数集合 D. (C,?) 2. 设e是群G的单位元，a,b是G的两个元素，则（ ）。 A. (ab)?1*?a?1b?1 B. (ab)?2?a?2b?2 C. 若a2?e，则a?a?1 D.ab?ba

3.精确到同构, 4阶群有( )个。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 以下结论正确的是 ( )。

A.全体非零整数对

群论

§4.7 分子的振动谱及简正模

（简化）

一个分子，对称性群记为G . 例如：H2O (C2V), NH3 (C3V) 分子的振动自由度有3N-6个（或3N-5个）。

§4.7.1 分子振动的一般理论

振动方程的建立 分子的势能

1N3?2VV?V0???u?(k)u?(k')??

2k,k'?1?,??1?u?(k)?u?(k')0简谐近似

1N3?2VV?V0???u?(k)u?(k')

2k,k'?1?,??1?u?(k)?u?(k')01N3?V0(1,2,?,k,?,N)????(kk')??u?(k)u?(k')

2k,k'?1?,??1V0(1,2,?,k,?,N)具有分子对称群G的对称性。

定义约化位移

?(k)） W?(k)?mku?(k)，（p?(k)?W?力矩阵或称动力矩阵

- 1 -

群论

D(kk')???1m?m??(kk')??

分子的哈密顿

H?112p(k)?D(kk')??W?(k)W?(k')（4.7-5） ?????2k?2k,k'?,?得到运动方程

??(k)????D(kk')W(k')W ????k'? （4.7-7）

设解的形式为

W?(k)?Cje?(k)exp(i?t??j)

?e

群论

§4.7 分子的振动谱及简正模

（简化）

一个分子，对称性群记为G . 例如：H2O (C2V), NH3 (C3V) 分子的振动自由度有3N-6个（或3N-5个）。

§4.7.1 分子振动的一般理论

振动方程的建立 分子的势能

1N3?2VV?V0???u?(k)u?(k')??

2k,k'?1?,??1?u?(k)?u?(k')0简谐近似

1N3?2VV?V0???u?(k)u?(k')

2k,k'?1?,??1?u?(k)?u?(k')01N3?V0(1,2,?,k,?,N)????(kk')??u?(k)u?(k')

2k,k'?1?,??1V0(1,2,?,k,?,N)具有分子对称群G的对称性。

定义约化位移

?(k)） W?(k)?mku?(k)，（p?(k)?W?力矩阵或称动力矩阵

- 1 -

群论

D(kk')???1m?m??(kk')??

分子的哈密顿

H?112p(k)?D(kk')??W?(k)W?(k')（4.7-5） ?????2k?2k,k'?,?得到运动方程

??(k)????D(kk')W(k')W ????k'? （4.7-7）

设解的形式为

W?(k)?Cje?(k)exp(i?t??j)

?e

人生是什么 基督教丧事礼拜讲章

来源：新浪博客 | 作者：报恩人 | 时间：2011-10-09 19:02:00 | 阅读[2468] 字体: [大 中 小] [繁体] [推荐]

约14:6：耶稣说，我就是道路，真理，生命。若不借着我。没有人能到父那里去。

诗126:1: 当耶和华将那些被掳的带回锡安的时候，我们好像做梦的人。

来10:33/36: 一面被毁谤，遭患难，成了戏景，叫众人观看。一面陪伴那些受这样苦难的人。因为你们体恤了那些被捆锁的人，并且你们的家业被人抢去，也甘心忍受，知道自己有更美长存的家业。所以你们不可丢弃勇敢的心，存这样的心必得大赏赐。你们必须忍耐，使你们行完了神的旨意，就可以得着所应许的。

人生是什么

各位屠居安公公的亲朋好友，子孙后裔今天晚上我们带着沉痛的心来到这里，我们要举行一个丧事追思礼拜，教会要奉耶稣的名传讲耶稣的信息。我想谈一谈人生是什么？有人说，人生是一场赛跑，一辈子都永无止境的累吁吁地跑，可是到了最后还是无法达到自己心中的目标：有人说，人生是一杯美酒，有辣，有香，有甜，有苦．有人说，人生是一轮月亮．有升，有落，有圆缺，有阴晴，有明暗

第1.1讲 什么是计算机网络

数据通信与计算机网络

笫一讲 什么是计算机网络

第1.1讲 什么是计算机网络

本讲内容第一章概述 1.1 什么是计算机网络 1.1.1 计算机网络的演变 1.1.2 计算机网络的定义 1.1.3 计算机网络的发展方向 1.1.4 计算机网络的功能

第1.1讲 什么是计算机网络

1.1.1 计算机网络的演变计算机网络大体上可以分为四个阶段:面向终端的计算机网络 计算机-计算机网络 开放式标准化的计算机网络 目前所处的网络计算的新阶段.

第1.1讲 什么是计算机网络

1.1.1 计算机网络的演变(续) 计算机网络的演变(面向终端的计算机网络五十年代中至六十年代 实际上是以单个计算机为中心的远程联机系统, 远程联机系统, 远程联机系统 虽然历史上也曾称它为计算机网络,但现在为 了更明确地与后来出现的多台计算机互连的计 算机网络相区分,也称为面向终端的计算机网 面向终端的计算机网 络.

第1.1讲 什么是计算机网络

面向终端的计算机网络例子:

50年代,美国半自动地面环境SAGE(Semi-Automatic Ground Environment)防空系统 60年代初期美国航空公司投入使用的由一台中心计算机 和全美范围内2000多个终端组成的

第三章 分子对称性和分子点群 第四章 分子对称性与群论初步

Chapter 4. Molecular Symmetry and Introduction to Group Theory Chapter 3. Molecular Symmetry and Piont Group

4.1 对称图形的定义

生 物 界 的 对 称 性

建 筑 中 的 对 称 性

分子中的对称性

3.1 对称图形的定义对称图形是能被不改变图形中任意两点间的距离 的操作所复原的图形。 操作：将图形中的每一点按一定的规律从一个位 置移到另一个位置。 复原：实施操作前什么地方有什么，操作后仍有 些什么，以致于无法观察图形中各点位置是否发生 变化。

3.2 对称操作与对称元素对称元素: 旋转轴

对称操作：不改变图 形中任何两点的距离而能 使图形复原的操作叫做对 称操作； 实施对称操作所凭借 的几何要素叫做对称元素.对称操作: 旋转

有限图形所具有的对称操作和对

称元素被称为宏观对称操作和宏观对

称元素。

分子的宏观对称操作和宏观对称元素有5种：

一、旋转操作与旋转轴将图形中的各点绕某一轴线旋转一定角度的操作被

称为旋转操作。施行旋转操作所凭借的几何元素为一直线，称为旋

转轴，符号为Cn 。n:轴次n 2

基督教讲章：我该做什么才能得永生？

路18：18-30 马太福音、马可福音、路加福音共同记载一个故事，有一个人问耶稣，“我该作什么事才可以承受永生?” 将三本福音书合起来看，可以更全面地了解此人的身份。马太福音说他是个少年人;马可福音说他是个富有的人;路加福音说他是个官。少年人固有的帅气，加上他的财富和很高的官员身价，这个少年人占全了，用今天的话说，他是个典型的“高富帅。”这个富有的少年官比今天的“高富帅”更胜一筹的是，他身上没有明显的浅薄和傲慢，而且他对属灵的事物有兴趣和追求，所以他问耶稣：“我该作什么善事才能得永生?”(太19：16) 为什么年轻人来问耶稣? “有一个官问耶稣说，良善的夫子，我该作什么事，才可以承受永生?”(路18：18) 这个年轻人对耶稣的问题表明两件事实：第一，他相信有永生;第二，他对自己能否得到永生没有把握。 人人都有追求永生的倾向，这是人被造的天性。有人说，我只想今生好好地活着，对于永生的事我不在意。这样说辞的潜台词是：我不相信有永生这回事。这中看似无所谓的说辞其实是无知和愚昧的表现，因为他(她)不知道人如果没有永生就是永刑，那样的结局是何等的可怕。 这个年轻人知道有永生，但他对自己能否得着永