反比例函数与一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【目标导航】

通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．

【预习引领】

解下列一元二次方程.

(1)x2－1=0 (2)x2 －2x =－1

(3)(x+1)2－24=0 (4)x2 +2x+2=0

问题：(1)为什么会出现无解？

(2) 回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的过程.

【要点梳理】

１．一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式是2－4ac．

2．判别一元二次方程根的情况：

（1）当b2－4ac＞0时，___________ _____;

（2）当b2－4ac＝0时，__________________;

（3）当b2－4ac＜0时，________ _______．

例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5(x2+1)－7x＝0．

【课堂操练】

不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x－2=0；

（2）2y2+5=6y；

（3）4p(p－1)－3＝0；

（4）(x－2)2＋2(x－2)－8＝0；

（5

2

专题三 一元二次方程根的判别式[学生用书B14]__

(教材P39作业题第5题)

已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足ac<0，判别方程根的情况，并说明理由．

解：Δ＝b2－4ac>0，

所以原方程有两个不相等的实数根．

【思想方法】 一元二次方程根的判别式可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．常常有以下的应用．

一 判断一元二次方程根的情况

[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是 ( C )

A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0 C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0

[2013·潍坊]已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确

的是

( C )

A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解

C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

[2013·滨州]对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k

－1＝0的根的情况为

( C )

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

[2012·孝感]已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.

第二、五章测试题

一、填空题（每题3分，共21分）

1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 ，一次项

系数为： ____，常数项为 . 2、若方程mx+3x－4=3x是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 . 3、已知x??1是方程x2?ax?6?0的一个根，则a=____________，请你求出它的另一个

根为_________；

4、若正比例函数y=mx (m≠0)和反比例函数y=m=______，n=_________ .

5、已知正比例函数y=kx与反比例函数y=

3xnx2

2

(n≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则

的图象都过A（m，1）点，求此正比例函数解

析式为________,另一个交点的坐标为________. 6、已知双曲线y?

kx

经过点（－1，3），如果A(a1,b1)，B(a2,b2)两点在该双曲线上，且

a1＜a2＜0，那么b1 b2．

7、已知函数y??kx (ｋ≠０)与ｙ＝?4x的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于ｙ

轴，垂足为点C，则△BOC的面积为＿＿＿＿

二、选择题（每题3分，共36分）

一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题

1、方程kx2?3x?2?0有两个相等的实数根，则

k 。

2、若关于x的方程kx2?4x?3?0有实数根，则k的非负整数值是 。

3、关于x的方程mx2?2?3m?1?x?9m?1?0有

两个实数根，则m的范围是 。

4、已知k>0且方程3kx2?12x?k??1有两个相等的实数根，则k= 。

5、当 k

不小于?14时，方程

?k?2?x2??2k?1?x?k?0根的情况是 。

6

、

如

果

关

于

x

的

方

程

?m?2?x2?2?m?1?x?m?0只有一个实数根，那么

方程mx2??m?2?x??4?m??0的根的情况

是 。

7、如果关于x的方程mx2?2?m?2?x?m?5?0没有实数根，那么关于x的方程?m?5?x2?2?m?2?x?m?0的

实

根

个

数

是 。

8、如果方程2x2?mx?4?0的两根为x1,x2，且

1x?1?2，求实数 m的值。 1x2

9、已知方程x2??2k?1?x?k2?2?0的两实根

的平方和等于11，求k的值。

10、m取什么值时，方程?m?2?x2?2x?1?0有

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系

【知识点1】一元二次方程的根的判别式

概念：一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的判别式为2=b2－4ac 一元二次方程ax＋bx＋c=0 (a≠0)的根的情况是：

①当△＞0时，有两个不相等的实数根。 ②当△=0时，有两个相等的实数根。 ③当△＜0时，没有实数根 注：当△≧0时，方程有实数根。

【例1】已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ） A． 没有实数根

B．可能有且只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）

C.＜

D.

且

2

2

C．有两个相等的实数根

【例2】如果关于x的一元二次方程A.＞

B ＞

且

【例3】已知关于的一元二次方程

2

有两个不相同的实数根，则的取值范围是

【例4】.已知关于x的二次方程(1 2k)x 2kx 1 0有实数根，则k的取值范围是。 【例5】已知a，b是关于x的方程x (2k 1)x k(k 1) 0的两个实数根，则a b的最小值是【例6】关于x的一元二次方程(a b)x2 bx

2

22

a c

0有两个相等的实数根,那么以a、b、c为三边的三角形是

初三第一轮复习课之《一元二次方程根的判别式及根与系数关系》

执教：阳光学校 吴春丽

一、 教学目标

1、 通过复习，学生重新认知知识的由来，熟练掌握一元二次方程根的判别式、

根与系数的关系。

2、 学生能灵活运用知识，解答基本基础题，及一些简单综合题。

3、 培养学生数学的严谨性及阅读审题能力，进一步提高学生的解题能力及思维

的严密性。

二、 教学重点与难点

重点：认清知识的本质，灵活运用这两个知识。

难点：认真审题，分析题意，正确选择解决问题的途径。

三、 教学方法：启发、讨论

四、 教学过程

（一） 课前基础训练

1、不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况:

222（1）x＋3x+3=0; （2）x-4x-3=0; （3）4x-4x+1=0

2、不解方程，请说出下列一元二次方程的两根的和与两根的积:

22（1）x-4x-3=0; （2）4x-4x+1=0；

通过很简单的基本训练，教师对学生今天所要复习的内容的认知情况做一个了解。

（二）课本回顾，知识重现

提问1：同学们能否告知老师刚才在做练习时，你用了什么数学知识吗？（生答） 提问2：有没有同学能够告诉大家，这两个知识又是如何研究得到的呢？ 揭示课题

重现根的判别式以及根与系数关系的由来（课本内容）

22一元

根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok

一元二次方程专项练习60题

1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）当时，求m的值．

2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，

（1）若方程的一根为0，求实数a的值；

（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．

3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？

4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．

（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；

（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．

5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．

（1）方程有两个相等的实数根；

（2）方程有两个相反的实数根；

（3）方程的一个根为0．

6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．

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根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok

7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两

一元二次方程的公共根与整数根

知识点睛

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题精讲

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

?ABC【例2】

课题：2.5.2二次函数与一元二次方程

教学目标：

1．复习巩固用函数y＝ax+bx+c的图象求方程ax+bx+c＝0的解．

222．让学生体验一元二次方程ax+bx+c =h的根就是二次函数y=ax+bx+c 与直线y=h（h是

2实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax+bx+c =h的近似根．

3．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想. 教学重点与难点：

重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程. 难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算. 教学过程：

一、复习回顾，开辟道路

二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax+bx+c=0的根有什么关系?

2

2

22

1．若方程ax+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点坐标是 .

2．抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D

一元二次方程的公共根与整数根

知识点睛

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题精讲

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

?ABC【例2】