不等式存在性问题解题方法

高中竞赛

中

等

数

学

存在性问题的解题方法吓王连笑天津市实验中学,

本讲适合高中

,

,

…

,

这一

类中必有一,

,

与

,

用抽屉原理解存在性问题

…

,

。

中的一个属于同一类设一,

,

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属

把时。,,

个元素分成

。

,

的个集合个希元素

,

当当

同一类则数之和是,,

一

,

,

,

即有两,

贝必有一集合至少有、

的倍数,

如果只有二个数设为‘,

落在,

朴时,,

,

贝“有一集合至少有〔〕‘个元。

登

中的某两将落在,,,,,

粼之中,

这

素

其中〔〕表示不超过

二

的最大整数,

时

,

一,

‘

,

一

,

的某,

把无穷多个元素分成有限个集合则至少有一个集合仍含有无穷多个元素以上两个原理就是抽屉原理从叙述中

两类中这时,,,

…氏一,,,

。,

一

必落入。

…咬这,,

类中因此必有‘

或

一

,

与

,

…

中的一个在同一类问,

可以看出抽屉原理就是解决存在性问题的命题

题得证如果有三个数设为。,

。,

,

落在

关于用抽屉原理解题已有不少文章介绍这里仅举两例说明,

,

,

,

中的某三个同样可讨论

屉原理是证明存在

,

,

,

‘,

一矶

一,

,

一,

问题仍可得证‘,

性问题的一个重要原理例劝任意给定,

如果有四个数设为

。,

。

,

,

落

个整数求证其中必整除,,,

在二,,

,

,

中的每一个则可讨论,

存在两个数其和或者其差可被证明设这个整数为,

。

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,

一

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。,

,

一

,

一。

,

间题同样得

…,

,

证…,

考虑

高中竞赛

中

等

数

学

存在性问题的解题方法吓王连笑天津市实验中学,

本讲适合高中

,

,

…

,

这一

类中必有一,

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与

,

用抽屉原理解存在性问题

…

,

。

中的一个属于同一类设一,

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把时。,,

个元素分成

。

,

的个集合个希元素

,

当当

同一类则数之和是,,

一

,

,

,

即有两,

贝必有一集合至少有、

的倍数,

如果只有二个数设为‘,

落在,

朴时,,

,

贝“有一集合至少有〔〕‘个元。

登

中的某两将落在,,,,,

粼之中,

这

素

其中〔〕表示不超过

二

的最大整数,

时

,

一,

‘

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一

,

的某,

把无穷多个元素分成有限个集合则至少有一个集合仍含有无穷多个元素以上两个原理就是抽屉原理从叙述中

两类中这时,,,

…氏一,,,

。,

一

必落入。

…咬这,,

类中因此必有‘

或

一

,

与

,

…

中的一个在同一类问,

可以看出抽屉原理就是解决存在性问题的命题

题得证如果有三个数设为。,

。,

,

落在

关于用抽屉原理解题已有不少文章介绍这里仅举两例说明,

,

,

,

中的某三个同样可讨论

屉原理是证明存在

,

,

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一矶

一,

,

一,

问题仍可得证‘,

性问题的一个重要原理例劝任意给定,

如果有四个数设为

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中的每一个则可讨论,

存在两个数其和或者其差可被证明设这个整数为,

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,

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考虑

数列型不等式放缩技巧八法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一 利用重要不等式放缩

1． 均值不等式法

例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证解析 此数列的通项为ak?n(n?1)(n?1)2

?Sn?.22k(k?1),k?1,2,?,n.

n1k?k?11，n??k?Sn??(k?)， ?k?k(k?1)??k?222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b，若放成

2k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)，就放过“度”了！

k?1n222 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1???ana12???an

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

不等式证明的若干方法

作者：金克川 指导老师：杨翠

摘要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的

重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.

关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数

1引言 在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和

高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的

中原工学院

1 常用方法

1.1比较法（作差法）[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助a?b的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.

例1 已知：a?0，b?0，求证：证明

a?b2a?b2?ab.

b)2?ab?a?b?2ab2a?b2?ab?(a?2?0，

故得 1.2作商法

.

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.

例2 设a?b?0，求证：aabb?abba. 证明 因为 a?b?0， 所以 而

abaab?1或

ab?1来判断其大小，步骤一般为：

?1，a?b?0.

baababb?a?????b?a?b?1，

故 aabb?abba. 1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证：

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1 x2 ... xn

n

x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4八维时:

(a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1 x2 ... x2n

2

n

2

n

x1x2...x2n

令x1 x1,...,xn xn;xn 1 xn 2 ... x2

n

x1 x2 ... xn

n

A

由这个不等式有

A

nA (2 n)A

2

nn

1

2

n

x1x2..xnA

2 n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1 x2 ... xn

n

n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0 ai 1(i 1,2,...,n)证明

i 1

11 ai

n

1

1 (a1a2...an)n

例2：

均值

南通大学毕业论文

摘 要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

1

南通大学毕业论文

ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper th

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立????00a ; 2）0)(

??

2a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=?a a 解得3

11>-

1()1,(+∞--∞Y 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立

当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F

当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ???

????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

二、最值法（分类讨论）

将不等式恒成立问题

中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3