matlab求二阶常微分方程例题

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法

一 公式解法

目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:

y''?ay'?by?f(x)通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为

y''?ay'?by?f(x) (1) 这里a、b都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程

k2?ak?b?0 (2)

对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根k1、k2。则方程(1) 可以写成 y''?(k1?k2)y'?k1k2y?f(x)

第18卷第2期2005年4月

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

文章编号:1006-7353(2005)02-0022(08)-05

*

《常微分方程》例题分析

徐胜林

(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)

摘要:本文对《常微分方程》的一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的规律,指出必须注意的事项,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。

关键词:常微分方程;解题分析

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

在学习《常微分方程》这门课程的过程中,往往要演算大量的习题,以加深对基本概念、基本方法、基本技巧的理解和记忆,达到灵活运用的程

度,但在解题时,经常会遇到各种各样的困难。本文通过对一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的方法和技巧,以帮助学生提高解题能力,熟练演算技巧,巩固所学知识。

例1 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x

第18卷第2期2005年4月

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

文章编号:1006-7353(2005)02-0022(08)-05

*

《常微分方程》例题分析

徐胜林

(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)

摘要:本文对《常微分方程》的一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的规律,指出必须注意的事项,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。

关键词:常微分方程;解题分析

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

在学习《常微分方程》这门课程的过程中,往往要演算大量的习题,以加深对基本概念、基本方法、基本技巧的理解和记忆,达到灵活运用的程

度,但在解题时,经常会遇到各种各样的困难。本文通过对一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的方法和技巧,以帮助学生提高解题能力,熟练演算技巧,巩固所学知识。

例1 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x

第２６卷第２期

２００８年６月

徐州师范大学学报（自然科学版）

Ｊ．ｏｆＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

Ｖ０１．２６。Ｎｏ．２

Ｊｕｎ．，２００８

一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

杜增吉

（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６）

摘要：采用待定系数法，给出了非齐次项为，１次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式，并通过举例验证了特解公式的正确性．

关键词：常系数；微分方程组；通解公式；待定系数法；特解

中图分类号：０１７５．０８

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—６５７３（２００８）０２—０１１１—０３

’

线性微分方程组的求解是常微分方程课程的重要内容之一，求常系数线性微分方程组的特解则是线性微分方程组求解的重点［１－５］，但对于高阶微分方程组的特解研究，目前结果还很少．根据线性非齐次微分方程（组）解的结构定理［１’２］，线性非齐次微分方程（组）的通解等于对应的齐次方程（组）的通解加上非齐次微分方程（组）的一个特解．对于常系数线性微分方程（组）来说，当非齐次项为某些特殊形式时，可用待定系数法［６１求出非齐次方程（组）的一个特解．文献［７］采用降阶法、特征根法和待定系数法，给出了一类二阶常系数微

第２６卷第２期

２００８年６月

徐州师范大学学报（自然科学版）

Ｊ．ｏｆＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

Ｖ０１．２６。Ｎｏ．２

Ｊｕｎ．，２００８

一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

杜增吉

（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６）

摘要：采用待定系数法，给出了非齐次项为，１次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式，并通过举例验证了特解公式的正确性．

关键词：常系数；微分方程组；通解公式；待定系数法；特解

中图分类号：０１７５．０８

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—６５７３（２００８）０２—０１１１—０３

’

线性微分方程组的求解是常微分方程课程的重要内容之一，求常系数线性微分方程组的特解则是线性微分方程组求解的重点［１－５］，但对于高阶微分方程组的特解研究，目前结果还很少．根据线性非齐次微分方程（组）解的结构定理［１’２］，线性非齐次微分方程（组）的通解等于对应的齐次方程（组）的通解加上非齐次微分方程（组）的一个特解．对于常系数线性微分方程（组）来说，当非齐次项为某些特殊形式时，可用待定系数法［６１求出非齐次方程（组）的一个特解．文献［７］采用降阶法、特征根法和待定系数法，给出了一类二阶常系数微

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

姓名： 学号： 班级：

2013年11月19

日

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

摘要

对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题，课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式，以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后，我在利用matlab解线性方程组时，又出现“out of memory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大，超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次，当n=10，h=1/10或n=70，h=1/70时，我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时，无论是LU分解法或高斯消去法，还是gauseidel迭代法，都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程差分方程out of memory LU分解高斯消去法gauseidel迭代法

一、题目重述

解微分方程：

(eyux(x,y))x (exuy(x,y))y (x y)ux(x,y) (x y)uy(x,y) u(x,y) ye xe e y x 1 e

Some Properties of Solutions of Periodic Second Order

Linear Differential Equations

1. Introduction and main results

In this paper, we shall assume that the reader is familiar with the fundamental results and the stardard notations of the Nevanlinna's value distribution theory of meromorphic functions [12, 14,

(f)and (f)to denote respectively the order 16]. In addition, we will use the notation (f)，

of growth, the lower order of growth and the exponent of convergence of the zeros of a meromorphic function f， e(f)（[see 8]），the

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

Matlab 实现四阶龙格-库塔发求解微分方程

从理论上讲，只要函数在某区间上充分光滑，那么它可以展开为泰勒级数，因此在该区间上的函数值可用各阶导数值近似地表示出来，反之其各阶导数值也可用某些函数值的线性组合近似地表示出来。龙格-库塔法就是将待求函数y(t)展开为泰勒级数，并用方程函数f(t,y)近似其各阶导数，从而迭代得到y(t)的数值解。具体来说，四阶龙格-库塔迭代公式为

1yn?1?yn?h(k1?2k2?2k3?k4)

6k1?f(tn,yn)

k2?f(tn?h/2,yn?hk1/2) k3?f(tn?h/2,yn?hk2/2) k3?f(tn?h,yn?hk3)

实验内容：

?1?x2，x?2??0.4x1?0.2x2?0.5u，x1(0)?x2(0)?0，u为单位阶已知二阶系统x跃信号。用四阶龙格-库塔法求数值解。分析步长对结果的影响。 实验总结：

实验报告要求简要的说明实验原理；简明扼要地总结实验内容；编制m文件，并给出运行结果。报告格式请按实验报告模板编写。

进入matlab，

Step1：choose way1 or way2

way1）：

可以选择直接加载M文件（函数M文件）。

way2