现代数值计算第二章课后答案

MATLAB语言 simulink

第2章 MATLAB数值计算2.1 变量与数据 2.2 矩阵与数组2.3 矩阵与数组运算 2.4 多项式运算 2.5 字符运算1

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第2章 MATLAB数值计算2.1 变量与数据2.1.1 数据数据的表达方式：采用十进制表示 矩阵和数组的概念 ：标量：是指1×1的矩阵，即为只含1个数的矩阵。 向量：是指1×n或n×1的矩阵，即为只含1行或1列的矩阵 矩阵：是1个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵 的特例数组：是指n维数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是 数组的特例。

复数：由实部和虚部组成，用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位2

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第2章 MATLAB的数值计算功能2.1 变量与数据2.1.1 变量 变量的命名应遵循如下规则： 变量名必须以字母打头，之后可以是字母、数字 或下划线，如x51483,a_b_c_d_e。

变量名区分字母大小写，如Items,items,itEms 及ITEMS都是不同的变量。3

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变量的命名应遵循如下规则：

变量名最多可包含63个字符(对于

第二章 插值法

1．当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：

x0 1,x1 1,x2 2,

f(x0) 0,f(x1) 3,f(x2) 4;l0(x) l1(x) l2(x)

(x x1)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x0 x1)(x0 x2)2(x x0)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x1 x0)(x1 x2)6

(x x0)(x x1)1

(x 1)(x 1)

(x2 x0)(x2 x1)3

则二次拉格朗日插值多项式为

L2(x) yklk(x)

k 0

2

3l0(x) 4l2(x)

(x 1)(x 2)

124

(x 1)(x 1) 3

5237x x 623

2．给出f(x) lnx的数值表

用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，

x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,x3 0.7,x4 0.8;f(x0) 0.916291,f(x1) 0.693147f(x2) 0.510826,f(x3) 0.356675f(x4) 0.223144

若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5 0.54 0.6

l1(x) l2(x)

x x2

10(x 0.6)

第二 MATLA章的数B值计算— —maltb 具a出色有数值的 计算力能，据占界上世数值计软 件的主导算地位

数值算的功运能 创矩阵建 阵矩运 多算项运式算线 方程性 组值统计 线性插数 函值优数化 微方分的数值解程

一、aMlab的基本t计功算能、1常用本基数函学数P38数名称 函函功数能取绝 对 值复的数角相开 平方复数 的部 复数的实部 共轭复虚数 函名数 函数称能 符功函数 号x/y余取 最公大因 最小公数倍数自 然数指 2指的数

absx)(angl (e)zs rqt(x )erla(z)ima gz() ocnj()z

sgi(n)xem(x,ry)gc(xdy) ,lmcx(y,) xp(xe po)w2()

x函数名

函数称功能四舍五入整取函数名称

函功能数然自数对 以01为的底对数ronu(xd r)t(xa) fix() xlfor(ox)

lgox() lgo10()xlog (2)x将实化为分数数 朝零 向取方整 朝负无穷向 取整方朝正无 大方 穷取整向以2为底对的数

engtl(xh )md(xo,y)向量求度长求余 为xy.值flo*o(r./xy)celix(

2)、M tlaab常的三角函用数3P

第二 MATLA章的数B值计算— —maltb 具a出色有数值的 计算力能，据占界上世数值计软 件的主导算地位

数值算的功运能 创矩阵建 阵矩运 多算项运式算线 方程性 组值统计 线性插数 函值优数化 微方分的数值解程

一、aMlab的基本t计功算能、1常用本基数函学数P38数名称 函函功数能取绝 对 值复的数角相开 平方复数 的部 复数的实部 共轭复虚数 函名数 函数称能 符功函数 号x/y余取 最公大因 最小公数倍数自 然数指 2指的数

absx)(angl (e)zs rqt(x )erla(z)ima gz() ocnj()z

sgi(n)xem(x,ry)gc(xdy) ,lmcx(y,) xp(xe po)w2()

x函数名

函数称功能四舍五入整取函数名称

函功能数然自数对 以01为的底对数ronu(xd r)t(xa) fix() xlfor(ox)

lgox() lgo10()xlog (2)x将实化为分数数 朝零 向取方整 朝负无穷向 取整方朝正无 大方 穷取整向以2为底对的数

engtl(xh )md(xo,y)向量求度长求余 为xy.值flo*o(r./xy)celix(

2)、M tlaab常的三角函用数3P

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

第 1 页 共 20 页

定义：

IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让

ae=a 对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

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定义：

IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让

ae=a 对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

第 1 页 共 20 页

定义：

IV?

G里至少存在一个右单位元e，能让

ae=a

对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至少

第二章 牛顿定律

2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )

(A) gsin θ (B) gcos θ (C) gtan θ (D) gcot θ

分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．

2 -2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小( )

(A) 不为零,但保持不变 (B) 随FN成正比地增大

(C) 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定

分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．

2 -3 一

第二章 牛顿定律

2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )

(A) gsin θ (B) gcos θ (C) gtan θ (D) gcot θ

分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．

2 -2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小( )

(A) 不为零,但保持不变 (B) 随FN成正比地增大

(C) 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定

分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．

2 -3 一

第二章 方程求根

教学内容：

1．二分法 2．基本迭代法 3．牛顿法 4．弦位法

5．埃特金法和斯基芬森法 6．重根的情况

教学重点：

各种算法的思路及迭代公式的构造

教学难点：

各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计

计划学时：5-6学时 授课提纲：

方程求根就是求函数f(x)的零点x*，即求解方程 f(x)?0

这里，f(x)?0可以是代数方程，也可以不是，如超越方程。

方程的根既可以是实数，也可以是复数；既可能是单根，也可能是重根；即可能要求求出给定范围内的某个根，也可能要求求出方程全部的根。

本章介绍的方法对两类方程都适用，但大部分都是要求知道根在什么范围内，且在此范围内只有一个单根。若有?使得f(?)?0,f?(?)?0，则称?是方程f(x)?0的单根；若有?使得

f(?)?f?(?)???f(m?1)(?)?0,f(m)(?)?0，

则称?是方程f(x)?0的m重根。

设f(x)在区间[a,b]连续，若f(a)f(b)?0，则f(x)在区间（a,b）内至少有一个实根，若再有f?(x)不变号，则有根区间（a,b）内仅有一个实根。除特别声明，本章介绍的算法都是求单实根。

2.1 二分法

二分法又称区间对分法，是