数二考定积分的近似计算吗

数学实验的课件

数学实验

实验二 定积分的近似计算

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

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矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

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实验二 定积分的近似计算

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实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

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实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

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矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

圆周率π的近似计算方法

班级 学号 姓名

众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。古代人把3作为它的近似值。π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:\历史上一个

国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志.\古

今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.

古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为\徽率\，他指出这是不足近似值。割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 ，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精

定积分的计算方法

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

Calculation method of definite integral

Abstract

the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system o

基础实验二 定积分数值计算

一、实验目的

学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

二、实验材料

2.1定积分的数值计算

计算定积分?abbf(x)dxn的近似值，可将积分区间n等分而得矩形公式

b?ab?a]nn

或

?af(x)dx??i?1f[a?(i?1)n?af(x)dx??i?1f[a?in]n

bb?ab?a也可用梯形公式近似计算

?baf(x)dx?[?i?1f(a?in?1b?af(a)?f(b)b?a)?] n2n 如果要准确些，可用辛普森公式

n?1n?af(x)dx?[2?i?1f(a?in)?4?i?1f(a?(i?2)2)?f(a)?f(b)]6n

bb?a1b?ab?asinxdx 对于?0，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为

a=0;b=1;k=10;

1 f[x_]:=Sin[x];

d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）

s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,

基础实验二 定积分数值计算

一、实验目的

学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

二、实验材料

2.1定积分的数值计算

计算定积分?abbf(x)dxn的近似值，可将积分区间n等分而得矩形公式

b?ab?a]nn

或

?af(x)dx??i?1f[a?(i?1)n?af(x)dx??i?1f[a?in]n

bb?ab?a也可用梯形公式近似计算

?baf(x)dx?[?i?1f(a?in?1b?af(a)?f(b)b?a)?] n2n 如果要准确些，可用辛普森公式

n?1n?af(x)dx?[2?i?1f(a?in)?4?i?1f(a?(i?2)2)?f(a)?f(b)]6n

bb?a1b?ab?asinxdx 对于?0，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为

a=0;b=1;k=10;

1 f[x_]:=Sin[x];

d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）

s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

第１０卷第１期２０１０年１月１６７１—１８１５（２０１０）１－０１７２—０４

科学技术与工程

ＳｃｉｅｎｃｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

Ｖ０１．１０⑥２０１０

Ｎｏ．１

Ｊａｎ．２０１０

Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

薛春荣

王

芳

（渭南师范学院数学系，渭南７１４０００）

摘要

运用数学分析中的积分总结了对称性在积分运算中的应用，给出了对称性在定积分、二重积分运算中的有关定理以

及应用；充分体现了对称性在积分运算中带来的方便，达到了简化积分运算的目的。这一点对于数学理论的研究及积分运算的解答都有重要意义。关键词

对称性

定积分

二重积分

中图法分类号０１７２．２；文献标志码Ａ

积分在数学分析中有很重要的地位；积分的计算方法有许多种，相关文献都对其有探讨，但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义，通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。

，．ｏ

肪圳戈＝厂∥圳戈＋取圳戈＝

舢

，．ｏ

．，ｏ

ｆ八一右）ｄ（一右）＋ｆ八戈）ｄｘ＝

．，Ｏ

肛州右＋肛州戈。

，．ｏ

１相关定理及证明

定理１

ｕ。

所以：．Ｊ一疆戈）出＝２．Ｊ∥戈）毗

安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文

近似计算在数学分析中的应用

作者：石结军 指导老师：张玮玮

摘要 近似计算是一个比较特殊的解决问题的方法，它是解决数学中复杂繁琐问题的重要工具，

是获得结果且影响极小的有力工具.在数学分析中，这种方法的运用尤为突出，如在定积分中的应用、微分中的应用、函数幂级数的应用等，其中函数幂级数中的应用主要体现在泰勒展开式中的应用.本文主要研究在数学分析中用具体实例来说明对这种方法的运用.

关键词 近似计算 数学分析 微分 函数幂级数 定积分

1 引言

近似计算是一种对计算结果影响不大,但能大大简化计算的过程,被广泛用于各个领域.在数学分析中,本文从在微分中、在定积分中、在求方程的解以及函数幂级数中的应用出发,然后分别简单介绍这几方面的一些有关内容及有关概念,并且针对近似计算在这些方面的应用列举出实例来加以解释说明这种方法的实用性,并且说明其与精确结果之间产生的误差.

2 近似计算在数学分析中的应用 1.1 在微分中的应用

在科学和工程问题中遇到的数值问题往往很复杂,在许多情况下都不可能求出数值解的精确值,另一方面，在许多实际问题中,并不需要解的精确值,而仅仅需要获得解在若干点上

留数定理在定积分中的应用

1． 留数定义及留数定理

1．1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <?<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ?=<<?为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =． 1．2 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理： 设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C f z dz =?．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k n

z a k C f z dz i s f z π===∑?． （1） 证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使

第五章 定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节 微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若f在区间?（x）?a,b??上可积，则对于??a,b??的任一划分：

a?x0＜x1＜?＜xn?b，及??xi?1,xi??中任意点ξi,有

n?baf(x)dx?limλ?0?i?1f(ξi)Δxi，

(5?1?1)

这里Δxi?xi?xi?1?i?1,2,?,n?,λ?max?Δxi?. (5?1?1)式表明定积分的本质是一类特定和式

1?i?n的极限，此极限值与?只与区间?有关.基于此，（x）?a,b??的分法及点ξi的取法无关，?a,b??及函数f我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，