5.4.3正切函数的性质与图象教案

人教版必修四课件

正切函数的性质与图象(1)

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一.正切函数的性质

1.定义域 : x | x k , k Z ; 2 2.值域 : R.3.周期性 : 正切函数是周期函数, 周期是 . 4.奇偶性 : 奇函数.

5.单调性 : 在开区间 k , k k Z 2 2 内都是增函数. k 6.对称性 : 对称中心是 ,0 . 2

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二.正切函数的图象y

y tan x

2

2

o

2

2

x

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正切曲线的图象特征 : (1)正切曲线是被互相平行的直线x

2 所隔开的无穷多支曲线组成, 每支曲线都是上下无 限伸展的. ( 2)正切曲线与直线x

k k Z

2

k k Z 向上,向下无限

接近 , 但始终不相交,即直线x 切曲线的渐近线.

2

k k Z 是正

(3)任意一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点 的距离都是 (即一个周期长).

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例1.求函数y tan x 的定义域, 周期 3 2

7.正弦、余弦、正切函数的图象和性质（2）

【复习目标】能借助三角函数的性质，解决一些简单的三角函数的奇偶性、单调性、周期

性和对称性问题

【活动过程】

活动一 基础训练 x?1. 函数y?3sin(?)的最小正周期为 242. 函数y?sinxtanx的奇偶性是 3．函数y?3sin?2x??????的单调增区间为____________ 3?4. 函数y=|sinx|的最小正周期为 ，单调递减区间是 ___________ 5. 函数f(x)?3sin?2x?π??的图象为C，如下结论中正确的序号是__________ 3?11?2π?①图象C关于直线x?0?对称； π对称； ②图象C关于点?，312??π?π5π?③函数f(x)在区间??，?内是增函数； ④由y?3sin2x的 图角向右平移个

3?1212???单位长度可以得到图象。

6．关于x的方程3sinx?cosx?2m?1?0在?0,??上有两个不等的实数根,则实数m 的取值范围是

幂函数的性质与图象

上海大学附属中学 钱寒静

【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】

幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型，是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数，学过指数和幂的知识，本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk（的函数进行系统、全面的探究，这既有利于 k为常数，k?Q）学生对函数概念的理解，又对今后学习其它函数提供了方法，从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】

学生在初中已经接触过函数，学习过有关幂的运算性质，并具有一定的列表、画图的能力，授课的班级为上海市示范性高中的学生，他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能：

1、 知道幂函数的概念，理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征； 2、 类比让学生发现当k<0时，幂函数在第一象限内的图象特征； 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征； 过程能力与方法：

在教学中充分发挥学生的主体作用，让他们经历幂函数性质发现的全过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察反思，最终自己得到幂函数的所有性质。

情感、态度与价值观：

让学生认识到幂函数图象的奇特魅力，体会数学的对称美与和谐美，增强学生科学严谨的学习态度，最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点

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1.4.3 正切函数的图象与性质

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一、复 习用几何法作正弦函数图象的过程？ 1、用平移正弦线得 y sin x, x [0,2 ]一个 周期内图象 . 2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 . 类 比

用正切线作正切函数y=tanx的图象

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二、探究用几何法作正切函数图象问题1、正切函数 y tan x是否为周期函数？

f x tan x tan x f x 是它的一个周期. ∴ y tan x 是周期函数，

我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？(

2 2 ,

)

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二、探究用几何法作正切函数图象 y tan x x 问题2、如何利用正切线画出函数 ， , 的图像？ 2 2 大家试一试：利用单位 圆把点( , tan 3 3)

表示在直角坐标系中。角 的终边 3 T

Y

( , tan )3 3

A

0

3

X

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y tan x x 利用正切线画出函数 ， , 的图像

§1.4.3正切函数的图像与性质 教案

教学目标

1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过课件纠正图像，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重点难点

教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线x=k

的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。 2，k Z是y=tanx

教学过程

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？

那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知

正切函数的性质与图像

一 教材分析：

《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。 二 教学目标

（一）知识与技能目标：

1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。 2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。 3.根据正切曲线，完善正切函数的性

高一数学正切函数图象与性质复习

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正切函数图像 作法如下： ①作直角坐标系， 并在直角坐标系 轴左侧作单位圆. ②把单位圆右半圆分成 8 等份， 分别在单位圆中作出正切线.③描点。(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正 切线)④连线.

余切函数 y=cotx

(2)正切函数的性质 ①定义域： x | x k

,k Z 2

②值域： R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是 . ④奇偶性： ta n ( x ) ta n x ,∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 O 对称. 2 k ,

⑤单调性： 由正切曲线图象可知： 正切函数在开区间 (

2

k ), k Z 内都是增函数.

强调： a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 余切函数 y=cotx,x∈(kπ ,kπ +π ),k∈Z 的性质：

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高一数学正切函数图象与性质复习

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必修4第一章

三 角 函 数

1.4 三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的性质与图象

必修4第一章

必修4第一章

1.理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作 法. 2.能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有 关的基本问题.

必修4第一章

必修4第一章

基础梳理 一、 正切函数的性质(1)正切函数的定义域和值域：定义域为__________, 值域为________; (2)正切函数的周期性：y=tan x的周期是________ (k∈Z,k≠0),最小正周期是________;

(3)正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是________ 函数，其图象关于原点________.(4)正切函数的单调性：正切函数在开区间 __________(k∈Z)内都是增函数. 一、(1) 心对称 (4) π x x≠kπ+ ,k∈Z 2

-π+kπ,π+kπ 2 2

R

(2)kπ π

(3)奇 中

必修4第一章

[-1,1] . 为________

π π 练习1:正切函数y=tan x在区间 - , 上的值域 4 4

必修4第一章

思考应用 1.能否说正切函数在整个定义域上是增函数？ 解析：不能.正切函数在整个定义域上不具有单

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

《三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象》

教学案例

太原二中 王 桓

课题：三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象 教材分析：三角函数是继指数函数、对数函数和幂函数之后，高中学习的又一个基本初等函数的模型，同时，他又是高中数学中最后一个基本初等函数模型，因此，正弦函数、余弦函数的图象和性质的研究方法可以借鉴以前所学过的函数图象和性质的研究经验，同时这节课又可以作为以前所学方法的巩固课；再者，这节课中的正弦函数图象的作法可以将描点作图法的真正精髓——描点方法可以多种多样，关键是准确描点展示的淋漓尽致。这节课的内容在整个高中数学的函数部分中起到不可忽视的作用。

正弦函数的图象作为三角函数的图象与性质的起始课，是在已学习了三角函数线知识的基础上来研究的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数y Asin( x )的图象和性质的知识基础和方法准备，因此具有非常重要的地位。

学情分析：

1. 学生在学习了必修1和必修3的基础上，在高一下学期第三学段学习本节内容，已经具备了研究函数的一般思维基础和能力基础，对问题的

新课导入提问：1、正弦函数性质？

y?sinx,x?R都有哪些

2、正弦函数的两个代数性质：

sin(x?2?)?sinx,sin(?x)??sinx反映了正弦函数图象的什么几何特征？

教学目标?知识与能力

利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象。

?过程与方法

借助单位圆中的三角函数线能画出y=tanx的图象，借助图象理解正切函数在

,)上的性质（如单调性、周期性、最22大值和最小值、图象与x轴的交点等），并能解决一些简单问题。

(????情感态度与价值观

亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重难点?重点：

1、利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质；

2、根据性质探究正切函数的图象。

?难点：

画正切函数的简图，体会与x轴的交点

π以及渐近线x=+kπ,k?Z2在确定图象

形状时所起的关键作用。