连续质点系的质心公式推导

12.5 质点系相对于质心的动量矩定理

前述的动量矩定理的适用条件：惯性参考系中的固定点或固定轴。 问：

1）对一般的动点和动轴，动量矩定理的形式如何？ 2）对质心的形式又如何？

Ax y z ，设质点系中任意一质点相对于动点A的矢径为ri ，相对于动参考系的速度为vir ，如图

1所示。

现做如下定义：

质点的绝对动量：各质点的质量与其在惯性参考系中的绝对速度的乘积，即mivi；

x

图1.

设在固定参考系oxyz中有一动点A，其速度为vA，现以动点A为原点建立平移参考系

y

和，即LA，表达式如下：

质点系相对于任意点A的绝对动量矩：质点系中各质点的绝对动量mivi对动点A的矩的矢量

N N

LA LA mivi ri mivi （1）

i 1

i 1

质点的相对动量：各质点的质量与其在动参考系Ax y z 中的相对速度的乘积，即mivir；

质点系相对于任意点A的相对动量矩：质点系中各质点的相对动量mivir对动点A的矩的矢

r

量和，即LA，表达式如下：

N N r r

LA LA mivi ri mivir （2）

数学教学通讯》2005年8月(上半月)(总第225期) 42 重庆　　　　　　　　　　　　　　《

质点组的质心公式的应用

(重庆市开县中学　405400)　袁　华　(西师附中　400700)　戴　宇

　　在中学的解析几何中,经常要求多边形(特别是三角形)的心.

在学生掌握了定比分点公式的基础上,我们就可将学生已熟知的△ABC的重心坐标公xA+xB+xCyA+yB+yC

,)推广到质点

33

组的质心公式:式(

如果点A、B、C处放的质点的质量分别为mA,mB,mC,这时质心M的坐标

x=

AABBCC

mA+mB+mC

=

4+3+1219

x=

y==

4+3+1219,).1919

说明:(1)当A的质量故P(x,y)=(为4,C的质量为12时,由于4 AF =12 CF ,故A、C的质心为F,所以A、B、C的质心在BF上,同理又在AE

,

AABBCC

y=

mA+mB+mC

交点坐标问题时的应用.

　(Ⅰ)

上,故P就是A、B、C的质心,故可用公式.

图1

下面举例说明公式(Ⅰ)在处理△ABC内

(2)此题用常规方法,通常是用定比分点公式分别求出E、F的坐标,再写出AE、BF的直线方程,联立求解从而得到P点的坐标,显然要复杂得多.

(3)这样作,还可教会学生将已学会的数学和物理知识

004-质点与质点系的动量定理和动量守恒定律

1、选择题：

1. 两辆小车A、B，可在光滑平直轨道上运动。A以3 m/s的速率向右与静止的B碰撞，A和B的质量分别为1kg和2kg，碰撞后A、B车的速度分别为-1 m/s和2 m/s，则碰撞的性质为：［ ］

(A) 完全弹性碰撞 (B) 完全非弹性碰撞 (C) 非完全弹性碰撞 (D) 无法判断 答案：（A）

2. 完全非弹性碰撞的性质是：［ ］

(A) 动量守恒，机械能不守恒 (B) 动量不守恒，机械能守恒 (C) 动量守恒，机械能守恒 (D) 动量和机械能都不守恒 答案：（A）

3. 两辆小车A、B，可在光滑平直轨道上运动．第一次实验，B静止，A以0.5 m/s的速率向右与B碰撞，其结果A以 0.1 m/s的速率弹回，B以0.3 m/s的速率向右运动；第二次实验，B仍静止，A装上1 kg的物体后仍以 0.5 m/s的速率与B碰撞，结果A静止，B以0.5 m/s的

1 kg v =0.5 m/s v =0.5 m/s A B B 速

质点与质点系的动量定理和动量守恒定律

1、选择题：

AABCB ABBBD CAABD ADCDA

2、判断题：

对错对对错 错错错错对

3、填空题

?1

-2mv0； mv/(M+m)； PB1＝0.5P0； F?t/m； 14 m · s； 2mv； 2mv0；

Mv??1

； v＝Mv0/m； mv0 sin?； ?mv0； v＝2 m/s； v＝16 m · s；M?m?1

10 m/s； PB＝– P0 + b t； v1＝2 m/s； v＝12.5 m ·s； s； ?P＝160 N·

???v ＝5 m/s； vB＝i?5j。

4、计算

1、质量为1 kg的物体，由水平面上点O 以初速度v0=10m/s竖直上抛，若不计空气的阻力，求（1）物体从上抛到上升到最高点过程中，重力的冲量；（2）物体从上抛到上升到最高点，又自由降落到O点过程中，重力的冲量；（3）如果降落到地面时，物体和地面作用的时间为0.01秒（落地后物体未反弹），则物体受到地面的平均作用力为多少，方向如何？（取重力加速度g=10m/s2）

解答及评分标准：

（1）规定向上的方向为正。

物体从上抛到上升到最高点过程中

质点系牛顿第二定律可叙述为： 质点系的合外力等于系统内各质点 的质量与加速度乘积的矢量和 。

F合=m1a1+m2a2+m3a3+……+mnan

如图，质量为M、倾角为 的斜面静止在粗糙的水平面上，质量 为m的滑块沿M粗糙的斜面以加速度a 下滑，求地面对M的支持力和摩擦力。

如图静止在水平面上的木箱M 中央有一根竖直的杆，小环m沿 杆有摩擦地以加速度a下滑，求M 对地面的压力的大小。

、

如图，质量为M、倾角分别为 1 2 的 粗糙斜面上，质量为m1、m2的两个滑 块在斜面上分别以a1、a2加速度下滑， 如果斜面不动，则地面对M的支持力 和摩擦力分别是多少？

如图，质量为M的木板可沿放在水平面 上固定不动、倾角为 的斜面无摩擦地 滑下。欲使木板静止在斜面上，木板上质 量为m的人应以多大的加速度沿斜面向下 奔跑？

有固定转动轴物体的平衡

1、转动轴：物体转动时，各点做圆周运动 的圆心的连线。电扇工作时扇叶都绕中心轴转动

2、转动平衡：一个有固定转动轴的物体，在力的作用下，如果保持静止 状态或匀速转动状态, 我们称这个物体处于转动平衡状态。

3、力臂(L):定义：从转动轴到力的作用线的距离。 练习如图表示有两个力F1和F2作用在杠杆上，杠杆的转动轴过 O点垂

大学物理学习

第一部分 力学1 什么是力学力学 研究机械运动及其规律的科学. 机械运动 是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置 的变化.

2 力学的分类按研究内容分 运动学(Kinematics) ——研究物体运动的规律 动力学(Dynamics) ——研究物体运动的原因 静力学(Statics) ——研究物体平衡时的规律 质点力学——研究对象为质点 刚体力学——研究对象为刚体

按研究对象分

大学物理学习

3 数学工具 微积分和矢量 4 力学的总框架力学运动学 动力学

牛顿定律守恒定律

动量守恒定律 机械能守恒定律 角动量守恒定律

大学物理学习

第二章

大学物理学习

运动学是研究物体位置随时间变化规律的力学内容. 自然界中的一切物质都处于运动之中.宏观物体的机械运动 分子热运动 电磁运动 微观粒子的运动 各种场的变化

物质的运动形式

宏观物体的机械运动是最常见的一种运动，其中最基本、最简单 的运动形式有平动和转动，其他复杂的运动都可看成是平动和转 动的叠加.描述质点运动的基础:参考系、坐标系、质点、刚体 质点运动状态的描述:位置、位移、速度、加速度 质点运动方程:质点运动学的核心

主要内容

刚体定轴转动的规律:角速度、角加速度、刚体上各点的 速度、切向和法向加速度 运

推导

第十课时

教学目标：

知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．

过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．

情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。

教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程．

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式．

教学过程：

一、铺垫孕伏

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）

二、探究新知

（一）指导探究圆锥体积的计算公式．

1、教师谈话：

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？

2、学生分组实验

学生汇报实验结果

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

推导

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，

推导

第十课时

教学目标：

知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．

过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．

情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。

教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程．

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式．

教学过程：

一、铺垫孕伏

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）

二、探究新知

（一）指导探究圆锥体积的计算公式．

1、教师谈话：

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？

2、学生分组实验

学生汇报实验结果

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

推导

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源