一元二次方程第一课时教案

姓名________ 班级_________ 家长__________

2.1一元二次方程（1）导学案

主备人：杨田中 2013、9、12

学习目标：

1、一元二次方程的一般形式及其有关概念；

2、理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式； 3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 学习重点：

一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题 学习难点：

建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 学前准备：认真阅读课本P25—27内容。

1．_____________________叫方程； _______________________叫一元一次方程。

2．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：__________________________________________________________________________________ 探究活动：剪一块面积为150cm的长方

学大教育个性化辅导教案

等于 0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. (3)配方法： 例 3

x2 6 x 4 0

解：x 2 6 x 4 x 2 6 x 32 4 32 ( x 3) 2 5 x 3 5 x1 5 3, x2 5 3.就是把一元二次方程转化为可以直接直接开平方的方法。 教师提问三：那同学们又能说说步骤吗？ 用配方法解一元二次方程

ax 2 bx c 0 a 0

的一般步骤是： ①化二次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次

项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的 平方；④化原方程为 ( x m) n 的形式；⑤如果 n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解，如果 n<0,则原方2

程无解. (4)公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后公式计算。 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的求根公式是：2

x

b b 2 4ac 2 (b 4ac 0). 2a

例4 解：

x2 x

2.6 应用一元二次方程

基础题

1．(天水中考改编)一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是( )

A．6 B．3 C．4 D．12

2．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )

A．2x·x＝24

B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48

3．(咸宁中考)用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120

4．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原

用于期末复习

杨家中学2010-2011年度九年级上之一元二次方程复习

一、选择题 1．（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是 A

．一元二次方程x2 4x 5

2有实数根；

B

．一元二次方程x2 4x 5 2 C

．一元二次方程x2 4x 5 3

有实数根；

D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．

3．（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 4．

5．（10湖南益阳）一元二次方程ax2

bx c 0(a 0)有两个不相等．．．

的实数根，则b2

4ac满足的条件是

Ａ．b2 4ac＝0 Ｂ．b2 4ac＞0 Ｃ．b2 4ac＜0 Ｄ．b2 4ac≥0

6．（2010山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是

（A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3 7．(2010四川眉山）已知方程x2 5x 2 0的两个解分别为x1、x

2010-2011学年度

第一学期初三数学电子备课

第

四

章

导

学

案

（总计13教时）

备课人：

一元二次方程（1）

一 、学习目标

1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；

2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02

=++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；

3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件

4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。

二 、知识准备：

1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程

2、方程2（x+1）=3的解是________________

3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。

三 、学习内容

1、 根据题意列方程：

⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。

设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程

22.2降次——解一元二次方程(第4课时)

教学目标：用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．

教学重点：用b2-4ac判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用根的判别式解决一些实际问题。

教学难点：推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系及其应用于解题。

德育设计：培养学生的发现数学规律、应用数学规律解决实际问题。 教学方法：探索、讲授法；

教具学具：课本、小黑板、草稿纸等。

教学过程：

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程：

（1）2x2-3x=0 （2）3x2-23x+1=0（3）4x2+x+1=0 老师点评，（三位同学到黑板上作）

（1）b2

-4ac=9>0，?有两个不相等的实根； （2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根； （3）b2-4ac=1-4×4×1=-15<0，?方程没有实根

二、探索新知：

从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们

从求根公式的角度来分析：求根公式：x=?b?b2?4ac2a，当b2-4ac>0时，根据平

方根的意义，b2?4ac等于一个具体数，所以一元一次方程的x?b?b2?4ac1=2a≠x?b?

第10课时：二次函数与一元二次方程（2）（教案）

班级 姓名

【学习目标】

1、经历根据a、b、c及b2－4ac的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想； 2、根据二次函数的示意图确定a、b、c及b2－4ac的符号，培养识图能力． 【探索活动】

1、 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的：（1）a＞0?抛物线开口 ，a＜0?抛物线开口 ；（2）｜a｜相同?抛物线形状 ．

2、抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置是由 决定的： c＞0?抛物线与y轴交于 ；c＝0?抛物线与y轴交于 ； c＜0?抛物线与y轴交于 ．

3、抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置是由 决定的： a与b同号?对称轴在y轴 侧；a与b异号?对称轴在y轴 侧； b＝0?对

课题：2.5.2二次函数与一元二次方程

教学目标：

1．复习巩固用函数y＝ax+bx+c的图象求方程ax+bx+c＝0的解．

222．让学生体验一元二次方程ax+bx+c =h的根就是二次函数y=ax+bx+c 与直线y=h（h是

2实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax+bx+c =h的近似根．

3．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想. 教学重点与难点：

重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程. 难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算. 教学过程：

一、复习回顾，开辟道路

二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax+bx+c=0的根有什么关系?

2

2

22

1．若方程ax+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点坐标是 .

2．抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D

一元二次方程的解法 一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x

十一）、几何类题 （2）动态几何问题

图2

图3 B

Q

CP

图4 http://www.77cn.com.cn

例：如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C

点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解：因为∠C＝90°，所以AB＝10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm. 则根据题意，得

1

·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4. 2

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. （2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半. 则根据题意，得

2

111(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0. 222

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