正交变换在几何学中的应用

第一章：几何学与变换群内容概述

基于对欧几里得几何原本中的“第五公设”即平行公理近两千年的争论，到十九世纪，出现了一些非欧几里得几何学，比如射影几何，仿射几何，双曲几何，椭圆几何等等。

其时，有两大问题困扰着数学界： 1：这些非欧几何学之间的逻辑关系问题； 2： 非欧几何学的相容性问题。

关于第二个问题非欧几何的相容性，Poincare于1882年给出了非常漂亮的解决，通常称为双曲几何模型，不作为学年论文内容。

而关于第一个问题，也即我的学年论文主要所讲述的，非欧几何学之间的逻辑关系，由F.Klein于1872年给出了解答，即克莱因变换群观点。

利用变换群观点对几何学进行定义和分类，常称为克莱因变换群观点。这个思想是德国数学家克莱因在德国Erlangen大学所做的题为“近世几何学研究的比较评论”的演讲中首次提出的，该演讲后被称为克莱因观点。他将当时已有的一些几何学统一于变换群的观点换之下，给出了建立抽象空间所对应的几何学的一种方法，对几何学的发展起到了巨大的促进和推动作用，甚至对物理学、力学的发展也产生了积极的影响。

然而，随着科学的进步和几何学的不断发展，克莱因观点已经远不能概括许多新的几何学，比如黎曼流行理论的出现和

平移变换在几何中的应用

平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。

一、平移变换在几何证明中的应用

例1．如图，△ABC中，BD=CE，求证：AB?AC?AD?AE

BDECA 【解析】

本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有BD=CE，运用平移变换，将△AEC平移到△A’BD的位置，问题迎刃而解。 【答案】

证明：如图2, 分别过点D、B作CA、EA的平行线， 两线相交于F点，DF于AB交于G点。 所以?ACE??FDB，?AEC??FBD 在△AEC和△FBD中，又CE=BD， 可证 △AEC≌△FBD， 所以AC=FD，AE=FB， 在△AGD中，AG+DG>AD， 在△BFG中，BG+FG>FB， 所以AG+DG-AD>0, BG+FG-FB>0, 所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0, 即AB+FD>AD+FB， 所以 AB+AC>AD+AE . 【思考】

本题还有没有平移其他图形的方法？

第20讲 正交变换与内积

1. 设A是Euclid空间v的线性变换，则A是正交变换?A保持内积不变?A

保持向量长度不变?A将标准正交基变到标准正交基?A在标准正交基的矩阵为正交阵。

2. 正交变换A保持向量夹角不变

(А???,А???)??,?????,??

?А???,А?????arccos? arccos|?||?|?А?????А????3. 设A是Euclid空间V的变换，?????V, ?A???,B????=??,??,则A是V的正

交变换

Proof:只须证明A是V的线性变换，?????V，有 A??????-A????-A???,A?? -A??-?A??????=A?????,A??????A???,A??????A???,A?????

?????? ??A?????,A??????A???,A??????A???,A????

?A?????,A????A???,A????A???,A???

=????,???????,???????,?????????,?????,?????,?? ?????,?????,?????,???0 则A?????-A???-A????0

???R, ???V,

第20讲 正交变换与内积

1. 设A是Euclid空间v的线性变换，则A是正交变换?A保持内积不变?A

保持向量长度不变?A将标准正交基变到标准正交基?A在标准正交基的矩阵为正交阵。

2. 正交变换A保持向量夹角不变

(А???,А???)??,?????,??

?А???,А?????arccos? arccos|?||?|?А?????А????3. 设A是Euclid空间V的变换，?????V, ?A???,B????=??,??,则A是V的正

交变换

Proof:只须证明A是V的线性变换，?????V，有 A??????-A????-A???,A?? -A??-?A??????=A?????,A??????A???,A??????A???,A?????

?????? ??A?????,A??????A???,A??????A???,A????

?A?????,A????A???,A????A???,A???

=????,???????,???????,?????????,?????,?????,?? ?????,?????,?????,???0 则A?????-A???-A????0

???R, ???V,

实验4 图象处理中的正交变换

——频域处理

一．实验目的：

1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。

2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。

3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。

二．实验内容：

1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。

2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v) 3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。 4．对输入图像进行频域滤波处理。

三．实验原理：

1．快速傅里叶变换FFT的实现

一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB函数fft2获得，其简单语法：

F = fft2(f)

该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。

傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为： S = abs(

实验4 图象处理中的正交变换

——频域处理

一．实验目的：

1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。

2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。

3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。

二．实验内容：

1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。

2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v) 3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。 4．对输入图像进行频域滤波处理。

三．实验原理：

1．快速傅里叶变换FFT的实现

一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB函数fft2获得，其简单语法：

F = fft2(f)

该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。

傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为： S = abs(

数字图像处理基础第3章图像处理中的正交变换（第二讲）3. 2 离散余弦变换

图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT。

3.2.1 离散余弦变换的定义

一维离散余弦变换的定义由下式表示

F(0)?1NN?1?f(x)x?0N?1(3—74)

22(x?1)u?F(u)?f(x)cos?Nx?02N(3—75)

式中F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量，u?1,2,3,??,N?1；f(x)是时域N点序列，

x?0,1,??,N?1一维离散余弦反变换由下式表示

f(x)?12N?1(2x?1)u?F(0)?F(u)cos?NNu?02N(3—76)

显然，式(3—74)式(3—75)和式(3—76)构成了一维离散余弦变换对。

二维离散余弦变换的定义由下式表示

1F(0,0)???f(x,y)Nx?0y?02(2y?1)v?F(0,v)?f(x,y)?cos??Nx?0y?02NN?1N?1N?1N?12F(u,0)??Nx?0N?1N?1?y?0(2x?1)u?f(x,y)cos2N2(2x?1)u?(2y?1)v?F(u,v)???f(x,y)cos?cos(3—77) N

几何学的发展简史

上海市第十中学 数学教研组 王沁

[课前设计]

中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。

可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当然，学生也很少去看。

我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。

第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重立体几何）的发展简史。

第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。

第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海