解析数论基础

第五章 数论基础

5.1 基本要求

1. 掌握整除、因数、倍数等概念，记住并会应用整除的性质。

2. 掌握最高公因数的概念，能够使用辗转相除法求两个数的最高公因数并表示为

它们的倍数和。会利用数的数码特征判别某些整除性。

3. 掌握互质的概念和质数的性质。掌握质数、合数的概念以及算术基本定理、欧几里德定

理。

4. 掌握合同的概念以及合同的基本性质。

5. 掌握剩余系、剩余类的概念。了解一次合同方程在什么条件下有解、什么条件下无解、

什么时候有唯一解（一个剩余类）、什么时候有多解（多个剩余类），并对有解的情况掌 握求解方法。

6. 掌握秦九韶定理(及其推广)、合同方程组的一般解法。

7. 掌握简化剩余系、Euler函数、Euler函数的可乘性、欧拉定理、费尔马定理。

8. 掌握二次同余的概念、二次同余方程的判定和求解、勒让德符号、欧拉判别法则。 9. 了解合同在计算机编码中的应用。

5.2 主要解题方法

5.2.1 关于整除的问题

这部分习题主要是应用整除的性质。整除的性质教材中列举得已经很详细，比如，若在一等式中，除某项外，其余各项都是a的倍数，则此项也是a的倍数，等7条。

数学数论问题解析3

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2-4 数学竞赛中的数论问题（09-10-28）

数论是研究自然数的一个数学分支. 一、数学竞赛中数论问题的基本内容 主要有8个定义、15条定理.

定义1 （带余除法）给定整数a,b,b 0,如果有整数q,r 0 r b 满足

，r a qb

则q和r分别称为a除以b的商和余数．特别的，r 0时，则称a被b整除，记作ba，或者说a是b的倍数，而b是a的约数．

定义2 （最小公倍数）非零整数a1,a2, ,an的最小公倍数是能被其中每一个ai 1 i n 所整除的最小正整数，记作 a1,a2, ,an ．

定义3 （最大公约数）设整数a1,a2, ,an中至少有一个不等于零，这n个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作 a1,a2, ,an ．

定理1 对任意的正整数，有 a,b a,b ab．

定义4 如果整数a,b 满足 a,b 1，则称a与b是互素的（以前也称为互质）．

定义5 大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质

数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．

定理2 素数有无穷多个，2是唯一的偶素数

名校真题 测试卷·数论篇㈡

时间：15分钟 满分80分 姓名_________ 测试成绩_________

1． (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所

有这样的四位数之和为 ．

2． (2008年实验中学考题)在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互

质的排列方式共有 种．

3． (2008年101中学考题)将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能

的小，那么此时这个最大的质数是 ．

4． (2009年清华附中考题)设a，b是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么

这样的有序正整数对(a,b)共有 组．

【解析】

1． 设这样的四位数为abcd，则abcd?a?b?c?d?200810a0?1b?10c1?d1?，则1a?1或2．

，即

⑴若a?2，则101b?11c?2d?6，得b?c?0，d?3，abcd?2003； ⑵若a?1，则101，，b?11c?2d?1007由于11c?2d?1?1?9?2?9117所以

，所以10

第2章 信息安全数学基础(数论)

指数(续)x例：求解幂同余方程2≡ 3 (mod13)

解：因为indan≡ ninda(mod (m))(n≥ 1)所以xind 2≡ ind 3(mod12)的解就是原方程的解。 ind2=4,ind3=9所以2x=8(mod 12)即x=4就是原方程的解。2015-4-6

第2章 信息安全数学基础(数论)

离散对数困难问题猜想(离散对数困难问题)对于一个奇素数 p,整数 y,存在唯一的 0≤ k< p -1满足y= g k (mod p)。选择一个适当大的 p,如果已知

p, g和y,计算离散对数k是十分困难的。基于离散对数困难性假设，EIGamal提出了EIgamal公钥密码体制。

2015-4-6

第2章 信息安全数学基础(数论)

离散对数困难问题(续)EIGamal公钥密码体制： (1)用户 A选择一个适当大的素数 p和 p的一个元根 g (2)用户 A选择一个秘密值 a: (3)用户 A公开，自己保密，并计算

(4)当用户 B想向 A发送消息 m时： ( a)B任选一个秘密整数 ( b)B计算 ( c)B将密文发送给 A

(5) A收到密文后，计算：

m= y2 ( y1 ) a (mod p)≡ mbt (

数论初步

1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。

2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是 。

3、下面这个199位整数：1001001001 1001 被13除，余数16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1,2,3， ，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是------。 17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，

如果某个“十全数”同时满足下列要求： （1）它 能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。 是多少 ？

4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是-----。

5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。这个三位自然数是----。

6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是----，----，----。

7、如果20052005 200501能被11整除，那么N的最小值是-------。

8、有一个六位数

数论（二）

······完全平方数、带余数的除法

1、若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是 _________。

2、一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、??、100编号，每盏灯各有

一个开关，开始时，所有的灯都不亮。有100个人轮流进入房间，第一个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离去。第二个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离去；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离去。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？

3、1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10＋10×11＋11×12的结果是不是完全平方数？为什么？

4、240乘以一个非零自然数α，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么α的最小值是 _________。b的最小值是_________。

5、400以内，有奇数个因数（约数）的自然数有哪些？这些自然数中因数（约数）最多的有多少个因数？

6、一个整数，它的一半是一个完全平方数，且它的三分之一是一个完全立方数，则这个整数最小是多少？

7、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是

数论初步

※知识要点 1、奇偶性

奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 偶数±奇数＝奇数

奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数 2、数的整除

一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 性质： ①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a. 整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8 ②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5 ③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除 ④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除 ⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位

数论初步

※知识要点 1、奇偶性

奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 偶数±奇数＝奇数

奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数 2、数的整除

一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 性质： ①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a. 整除特征： ①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8 ②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5 ③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除 ④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除 ⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位

02013 初等数论

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

第一章 整数的可除性

一、自学要求

（一）掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法。

（二）掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数。

（三）掌握质数的性质和算术基本定理，会用筛选法求不超过给定正整数的质数。

（四）掌握数论函数［x］的概念，会求 N！的标准分解式。

二、考试内容

（一）整除性，带余数除法，辗转相除法。

（二）最大公因数，最小公倍数，质数及其性质，算术基本定理，筛选法。

（三）数论函数［x］，N！的标准分解式。

第二章 不定方程

一、自学要求

（一）掌握二元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握二元一次不定方程的解法。

（二）了解多元一次不定方程有解的充要条件，掌握三元一次不定方程的解法。

（三）了解勾股数，掌握不定方程 x2 + y2 = z2的正整数解的表示方法。

二、考试内容

（一）二元一次不定方程。

（二）多元一次不定方程，三元一次不定方程。

（三）勾股数，不定方程 x2 + y2

数论专题

数论主要分以下几个模块：

1、 数的整除问题 2、 质数合数与分解质因数 3、 约数与倍数 4、 余数问题 5、 奇数与偶数 6、 位值原理 7、 完全平方数 8、 数字谜问题

一、 整除问题

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，

那么这个数能被7、11或13整除.

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3 如果数a能被数b与数c的积整除