熵的应用和意义

浅谈熵的意义及其应用

摘要：介绍了熵这个概念产生的原因，以及克劳修斯对熵变的定义

式；介绍了玻尔兹曼从微观角度对熵的定义及玻尔兹曼研究工作的重要意义；熵在信息、生命和社会等领域的作用；从熵的角度理解人类文明和社会发展与环境的关系。

关键词：克劳修斯熵 玻尔兹曼熵 信息熵 生命熵 社会熵

0 前言：熵是热力学中一个非常重要的物理量，其概念最早是由德国物理学家克劳

修斯（R.Clausius）于1854年提出，用以定量阐明热力学第二定律，其表达式为dS=(δQ/T)rev。但克劳修斯给出的定义既狭隘又抽象。1877年，玻尔兹曼（L.Boltzmann）运用几率方法，论证了熵S与热力学状态的几率W之间的关系，并由普朗克于1900给出微观表达式S=k logW,其中k为玻尔兹曼常数。玻尔兹曼对熵的描述开启了人们对熵赋予新的含义的大门，人们开始应用熵对诸多领域的概念予以定量化描述，促成了

【2】

广义熵在当今自然及社会科学领域的广泛应用【1】。

1 熵的定义及其意义

克劳修斯所提出的熵变的定义式为dS=(δQ/T)rev，由其表达式可知，克劳修斯用过程量来定义状态函数熵，表达式积分得到的也只是初末状态的熵变，并没

【1】

有熵的直接表达式，这给解释“

青岛农业大学

本 科 生 课 程 论 文

论 文 题 目 信息熵及其性质和应用

学生专业班级 信息与计算科学09级2班

学生学号姓名 20093992

指 导 教 师 吴 慧

完 成 时 间 2012年06月25日

2012 年 06 月 25 日

课 程 论 文 任 务 书

学生姓名 指导教师 吴慧

论文题目 信息熵及其性质和应用 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。使我们对信息熵有跟深入的了解 。

上海工程技术大学毕业设计（论文） 谐波小波与近似熵相结合的噪声分析

摘 要

本次毕业设计的目的是利用谐波小波与近似熵两种方法对含噪声的振动信号进行分析，最终达到区分有噪和无噪振动信号的目的。

近似熵是一个从衡量时间序列复杂性的角度出发的反映信号整体特征的指标,其具有计算所需数据短,对确定性信号和随机信号都有效的特点。本文在第一部分着重介绍了近似熵的概念、性质及其快速算法,其后引用实例并进行编程实验分析，从结果显示,近似熵在分析复杂的信号特征方面具有很强的能力。

由于现有的信号分析与处理的方法在高频段细化分析以及对非平稳信号和奇异信号的分析方面不理想。为解决这个问题，必须进行新的信号分析与处理方法的研究，以便对故障信号进行分析。本文第二部分所介绍的是以谐波小波和复morlet小波为主的用复小波方法分析与处理故障信号的新的故障信号处理方法。包括对谐波小波以及复morlet小波概念及性质的介绍，从小波的频谱出发对具有严格盒形谱特性及简单的解析表达式的谐波小波的运用，并经过严格的数学推导，得到了基于FFT的谐波小波算法，最后通过引用实际实例和相关编程实验表明,以复morlet小波在提取故障信号的特征方面同样具有很强的能力。

关键词：近似熵，

关于焓和熵的理解

熵：物理学上指热能除以温度所得的商，标志热量转化为功的程度。表示物质系统状态的一个物理量(记为S)，它表示该状态可能出现的程度。在热力学中，是用以说明热学过程不可逆性的一个比较抽象的物理量。孤立体系中实际发生的过程必然要使它的熵增加。熵的单位就是焦耳每开尔文，即J/K。熵是热力系内微观粒子无序度的一个量度，熵的变化可以判断热力过程是否为可逆过程。（可逆过程熵不）热力学能与动能、势能一样，是物体的一个状态量。能可以转化为功，能量守恒定律宣称，宇宙中的能量必须永远保持相同的值。那么，能够把能量无止境地转化为功吗？既然能量不灭，那么它是否可以一次又一次地转变为功？ 1824年，法国物理学家卡诺证明：为了作功，在一个系统中热能必须非均匀地分布，系统中某一部分热能的密集程度必须大于平均值，另一部分则小于平均值，所能荼得的功的数量妈决于这种密集程度之差。在作功的同时，这种差异也在减小。当能量均匀分布时，就不能再作功了，尽管此时所有的能量依然还存在着。德国物理学家克劳修斯重新审查了卡诺的工作，根据热传导总是从高温到低温而不能反过来这一事实，在1850年的论文中提出：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。这就是热力学第二定律，

图像的熵是一种特征的统计形式，它反映了图像中平均信息量的多少。图像的一维熵表示图像中灰度分布的聚集特征所包含的信息量，令Pi表示图像中灰度值为 i 的像素所占的比例，则定义灰度图象的一元灰度熵为：

H= - Ei=0255Pi lnPi

(其中，E i=0表示从灰度0到255进行求和运算，因为公式无法输入，

暂且这样表示)

图象的一维熵可以表示图像灰度分布的聚集特征，却不能反映图像灰度分布的空间特征，为了表征这种空间特征，可以在一维熵的基础上引入能够反映灰度分

布空间特征的特征量来组成图像的二维熵。

选择图像的邻域灰度均值作为灰度分布的空间特征量，与图像的像素灰度组成特征二元组，记为(i,j)，其中i表示像素的灰度值(0<=i<=255)，

表示领域灰度均值

j

255

(0<=j<=255),P=(f(i,j))/N2即可

ij

反应某像素位置上的灰度值与其周围像素的灰度分布的综合特征，其中f(i,

j)为特征二元组(i,j)出现的频数，定义离散的图像二维熵为： N为图像的尺度，

H= - E i=0E j=0 (Pij lnPij )

依此构造的图像二维熵可以在反映图像所包含的信息量的前提下，突出反映图像中像素位置的灰度信息和像素邻域内灰度分布的综合特征；

255255

本文是Li和Lee关于一维最小交叉熵

青 岛 农 业 大 学

本 科 生 课 程 论 文

论 文 题 目 广义信息熵的推广与应用

学生专业班级 信息与计算科学09级02班

学生姓名（学号） （20094052）

指 导 教 师 吴慧

完 成 时 间 2012年6月28日

2012 年 6 月 28 日

课 程 论 文 任 务 书

学生姓名 指导教师 吴慧

论文题目 广义信息熵的推广与应用 论文内容： 本文先介绍了Shannon 信息熵的定义，并对其进行了一定的分析，介绍了它的一些基本性质。其次，说明Shannon 熵的局限性

多目标风险评估中信息熵的应用

本文介绍了工程风险在当今社会工程建筑领域的重要性，将信息熵的风险评估方法运用于多目标风险评估中，优化工程风险管理的手段，风险的预测与控制需要从定性和定量两方面来诠释，全文从一个量化的角度详细介绍了在多个目标控制下的风险方案的选择，希望以此机会推广信息熵的运用，加大对工程风险的关注。

关键词：工程风险管理 信息熵 多目标风险

当今工程项目的竞争越发激烈，技术含量日趋提高，规模趋于大型化和复杂化，对其风险掌握的精度要求也越来越高。对风险的考虑也从原来的单一目标到现在的多目标，许多实际行业例如金融投资、房地产投资和供应链中采购与库存管理的风险管理问题大多是如此情形。多目标的风险可以让风险更趋于合理性和准确性，同时体现了现在对风险控制要求的提高。

从中国风险分析多年的进程来看，常用的方法有：第一层次分析法是将一个复杂的风险问题分解成若干个组成因素形成层次分明的分析结构，由粗到细，最后通过计算再反向逆推得出两两比较后的风险值，在风险分析的道路上向前迈了一大步，但是针对现在不断革新的时代，单一的目标分析已经逐渐满足不了现状，所以它的优势也在逐渐消失。第二模糊数学法适合解决那些难于用数字辨析的因素，但是其局限性比较大。第三蒙特卡罗法要

多目标风险评估中信息熵的应用

本文介绍了工程风险在当今社会工程建筑领域的重要性，将信息熵的风险评估方法运用于多目标风险评估中，优化工程风险管理的手段，风险的预测与控制需要从定性和定量两方面来诠释，全文从一个量化的角度详细介绍了在多个目标控制下的风险方案的选择，希望以此机会推广信息熵的运用，加大对工程风险的关注。

关键词：工程风险管理 信息熵 多目标风险

当今工程项目的竞争越发激烈，技术含量日趋提高，规模趋于大型化和复杂化，对其风险掌握的精度要求也越来越高。对风险的考虑也从原来的单一目标到现在的多目标，许多实际行业例如金融投资、房地产投资和供应链中采购与库存管理的风险管理问题大多是如此情形。多目标的风险可以让风险更趋于合理性和准确性，同时体现了现在对风险控制要求的提高。

从中国风险分析多年的进程来看，常用的方法有：第一层次分析法是将一个复杂的风险问题分解成若干个组成因素形成层次分明的分析结构，由粗到细，最后通过计算再反向逆推得出两两比较后的风险值，在风险分析的道路上向前迈了一大步，但是针对现在不断革新的时代，单一的目标分析已经逐渐满足不了现状，所以它的优势也在逐渐消失。第二模糊数学法适合解决那些难于用数字辨析的因素，但是其局限性比较大。第三蒙特卡罗法要

“比的意义和应用”教材对比研究

——以教学材料对概念形成的影响为视角

摘要：比的意义和应用在小学阶段是重要的学习内容，它丰富了分数概念体系，培养学生从比的角度重新审视“两个量的关系”，并形成比的概念。我们选取了三种版本教材，以“比的意义”和“比的应用”为例进行教学材料对比分析，剖析三种版本教材提供的教学材料对形成比的概念的影响。研究发现北师大版和苏教版提供的教学材料更有利于学生成比的概念。通过研究，我们试图为教材编写者提供参考依据，为一线教师研读教材、课堂实践提供参考。 关键词：教材对比 概念教学 比的意义 比的应用

概念是数学知识体系的基础。它不仅是学习数学定律、法则和公式的知识起点，还是进行数学推理、判断和证明的逻辑依据，而且是正确进行数学运算、数学思考和问题解决的先决条件。概念教学的重要意义不言而喻。“比”在数学中是一个重要的概念，体会比的意义和价值是教材内容的核心思想。学生学习比的知识可以丰富分数概念的内涵，架构以分数为核心的概念体系。

本文选取了人教版、北师大版和苏教版三种版本的教材，对三种版本教材有关比的内容编排体系做了研究，发现三种版本的教材都将这块内容安排在分数与除法的关系、分数乘除法运算及问题解决的基础上教学

1

2.2 熵的概念与熵增原理

2.2.1 循环过程的热温商 Q

T据卡诺定理知: 卡诺循环中热温商的代数和为:对应于无限小的循环,则有: ?QL??QH?0

TLTHQLQH??0 TLTHp A1 A2 T

?Q 对任意可逆循环过程,可用足够多且绝热线相互恰好重叠的小卡诺循环逼近.对每一个卡诺可逆循环,均有:

0 T? p T? T3? 4T2? T1? T5? T6? T7? T8? T9? ?Q?

V

?QL,jTL,j??QH,jTH,j?0

对整个过程,则有:

?(j?QL,jTL,j??QH,jTH,j)??(j?QjTj)R?0

? ? T10? T11T120

V

由于各卡诺循环的绝热线恰好重叠,方向相反,正好抵销.在极限情况下,由足够多的小卡诺循环组成的封闭曲线可以代替任意可逆循环。故任意可逆循环过程热温商可表示为:

?(?QT)R?0

即在任意可逆循环过程中,工作物质在各温度所吸的热(Q)与该温度之比的总和等于零。 据积分定理可知: 若沿封闭曲线的环积分为,则被积变量具有全微分的性质,是状态函数。

2.2.2 熵的定义——可逆过程中的热温商

在可逆循环过程,在该过程曲线中任取两点A 和B,则