2017北大自主招生数学试题

近年北大清华自主招生试题汇编

———————————————————————————————— 2010北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）0????2，求证：sin????tan?．（25分）

5?122．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为．（25分）

3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ在t0时取得最小值，问当0?t0?5．（仅理科做）存不存在0?x?

2009北大自主招生数学试题

15?2时，夹角的取值范围．（25分）

，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分）

1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。

2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。 3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？

4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值

5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下

2018-2019学年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分．温馨提示：多少汗水曾洒下，金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”! 多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

2．求过抛物线y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程．

3．在等差数列{an}中，a

2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分． 1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

22．求过抛物线y?2x?2x?1和y??5x?2x?3的交点的直线方程．

2

3．在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？

4．在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600．

5．是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

6．C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由．

7．求f(x)?x?1?2x?1?........?2011x?1的最小值．

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2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分． 1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

22．求过抛物线y?2x?2x?1和y??5x?2x?3的交点的直线方程．

2

3．在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？

4．在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600．

5．是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

6．C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由．

7．求f(x)?x?1?2x?1?........?2011x?1的最小值．

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2017年博雅数学试卷A

选择题共20小题（15题至34题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.

15. 正整数9+95+995+?+99 …95的十进制表示中数字1的个数为（）.

2016

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 前三个答案都不对 16. 将等差数列1,5,9,13,…,2017排成一个大数157913…2017，则该大数被9除的余数为（）.

A. 4 B. 1 C. 7 D. 前三个答案都不对 17. 一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（）.

A. 9 B. 10 C. 11 D. 前三个答案都不对 18. 单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的长度的平方和的最大值为（）.

A. 15 B. 20 C. 25 D. 前三个答案都不对 19. 1+cos7 1+cos

A. 1+8 20. 已知?? ?? =

等于（）. A. 2017?3 2017+ 31??

3??

1+cos7

1

5??7

的值为（）.

C. 1?4

1

B. 1?

2015复旦附中自主招生数学试题A

1．实数x、y、z满足2x?6?y?1?yx?4?x2?z2?2?2xz，则x+y-z=_____．

2．若1001的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数，这样的正整数n共有__个．

33．已知a2=7-3a，b2=7-3b，且a≠b，则b?a?______．

22ab4．设P是奇质数，则方程2xy=p(x+y)满足x

1?2?1?25．方程x???x????1??的解为____________．

x??x??116．如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B

点同时出发按逆时针方向移动，甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒， 乙经过_____秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．

AB 甲7．已知△ABC是等边三角形，动点Ｐ、Ｑ、Ｒ分别同时从顶点Ａ、Ｂ、Ｃ出发，沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P、Q、R经过△ABC的一边所用时间分别为1秒、2秒、3秒．从运动开始起，在1秒内，经过_____秒△PQR的面积取到最小值．

8．二次函数f(x)的图像开口向上，与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C，以D为顶点，若三角形ABC的外接圆与y轴相切，且∠D

2015复旦附中自主招生数学试题A

1．实数x、y、z满足2x?6?y?1?yx?4?x2?z2?2?2xz，则x+y-z=_____．

2．若1001的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数，这样的正整数n共有__个．

33．已知a2=7-3a，b2=7-3b，且a≠b，则b?a?______．

22ab4．设P是奇质数，则方程2xy=p(x+y)满足x

1?2?1?25．方程x???x????1??的解为____________．

x??x??116．如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B

点同时出发按逆时针方向移动，甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒， 乙经过_____秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．

AB 甲7．已知△ABC是等边三角形，动点Ｐ、Ｑ、Ｒ分别同时从顶点Ａ、Ｂ、Ｃ出发，沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P、Q、R经过△ABC的一边所用时间分别为1秒、2秒、3秒．从运动开始起，在1秒内，经过_____秒△PQR的面积取到最小值．

8．二次函数f(x)的图像开口向上，与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C，以D为顶点，若三角形ABC的外接圆与y轴相切，且∠D

2009年名牌大学自主招生考试试题(1)

2009年浙江大学自主招生考试

数学试卷

1 1、 （本小题满分20分）已知a≥，设二次函数f?x???a2x2?ax?c，其中a,c均

23为实数．证明：对于任意x??0,1?，均有f?x?≤1成立的充要条件是c≤．

41 2、 （本小题满分20分）数列?an?满足条件：a1?1，an?1?（n≥2）．试证明：

an?1（I）1≤an≤2，n?N?；

a?an11≤，n≥2且n?N?． （II）≤n?13an?an?12 3、 （本小题满分20分）现有如下两个命题：

命题p：函数f?x??x3?ax2?ax?a既有最大值，又有最小值． 命题q：直线3x?4y?2?0与曲线x2?2ax?y2?a2?1?0有公共点． 若命题“p或q”为真，且命题“p且q”为假，试求a的取值范围．

4、 （本小题满分20分） 现有由数字1,2,3,4,5排列而成的一个五位数组（没有重

复数字）．规定：前i个数不允许是1,2,,i的一个排列?1≤i≤4? （如32154就

不可以，因为前三个数是1,2,3的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个?

x2y2 5、 （本小题满分20分）双曲线2?2?1

2010年“华约”自主招生试题解析

一、选择题 1．设复数w?(（A）?32a?i1?i)，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（ ）

122 （B）? （C）

12 （D）

32

2．设向量a,b，满足|a|?|b|?1,a?b?m，则|a?tb|(t?R)的最小值为（ ） （A）2 （B）1?m （C）1 （D）1?m 3。缺 4。缺

5．在?ABC中，三边长a,b,c，满足a?c?3b，则tan（A）

15A2tanC222的值为（ ）

（B）

14 （C）

12 （D）

23

OH6．如图，?ABC的两条高线AD,BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，

与AF相交于G，则?OFG与?GAH面积之比为（ ） （A）1:4 （B）1:3 （C）2:5 （D）1:2

0)．过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y?f(x)的交点为Q，曲线7．设f(x)?e(a?C过点Q的切线交x轴于点R，则?PQR的面积的最小值是（ ）

ax（A）1 （B）

222e2 （C）

e2 （D）

e24

2228．设双曲线C1:xa?y24?k(a?2

上海牛人数学工作室助你上名校

2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷

一、填空题(8×9=72)

111ba??，则??___________. aba?bab114ba【变式】已知：??，则??___________.

aba?bab114ba【变式】已知：??，则??___________.

aba?bab1.已知

114ba2?___________. 【变式】已知：2??2，则2?aba?bab【变式】已知：114ba??，则??___________. aba?babx为整数.

x为有理数的x有_______个.

2.有________个实数x，可以使得120?【变式】x为1,2,3，??，2014，使得100?【变式】x为1,2,3，??，2014，使得5x为有理数的x有_______个. 【变式】有________个整数x，可以使得120?2x为整数.

，CD?BF，BD?CE，用含?A的式子表示?EDF，应为3.如图，在?ABC中，AB?AC?EDF=_____________.

AFEBD

0【变式】如图，在等腰直角?ABC中，?A?90,AB?AC，CD?BF，BD?CE，则

C

?EDF=____________