非寿险精算期末试题

一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为f(x;?)?e??x(x?0)其中，?为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为(x1,x2?xn)，求参数?的极大似然估计。 二：假设某保险业务的累积损失S服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。

加二：某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。 三：假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设?的先验分布为

p(??1)?0.6,p(??2)?0.4，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率?的后

验分布。

四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布。 五：假设某保险人签发了两份保单A和B，每份保单可能发生的损失额及相应的概率如下表：

A B 损失额 0 2000 概率 0.600 0.3 损失额 0 200 2000 概率 0.7 0.2 0.

精算师考试

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寿险精算教案

第二章 利息的度量及基本计算

★本章教学目的：通过本章学习，要求学生能准确理解利息的基本概念，掌握利息度量标准和有关计算。 ★本章重点与难点：利率与贴现率、现值与终值的比较；单利与复利、单贴现与复贴现的比较；实际利息

率与名义利息率、实际贴现率与名义贴现率的比较；利息理论的核心问题的理解。

★本章教学内容：主要介绍利息理论中的有关利息的基本概念和度量方法，以及利息的有关计算。

§2.1 利息的度量

一、

利息的相关概念

1． 利息：是资金的价格，指借款者向贷款者所支付的使用资金的代价。

2． 利息的几种来源: (1) 节欲论 (2) 时差利息论 (3) 流动偏好论 (4) 劳动价值论

二、 现值函数与终值函数

1．本金、利息和积累值（终值）的关系： 2．终值函数与总量函数 （1） 终值函数：a（t） （2） 总量函数：A（t） 3．现值函数：a?1(t) 三、 利息的度量

1．利息率

（1） 实际利息率 i （2） 名义利息率 i(m) 2．贴现率

（1） 实际贴现率 d （2） 名义贴现率 d(m) 3．息力

dA(t)da（1） 利息力定义：?t?dt(t)A(t)?dta(t) d?1（2） 贴息力定义：?

习题

第一章人寿保险

一、n年定期寿险

【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。

I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II、根据93男女混合表，计算赔付支出。 解：I

表4–1 死亡赔付现值计算表

年份 （1） 1 2 3 4 5 合计

根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：

年内死亡人数 （2） 1 2 3 4 5 --- 赔付支出 （3）=1000*(2) 1000 2000 3000 4000 5000 15000 折现因子 （4） 赔付支出现值 （5）=(3)*(4) 970.87 1885.19 2745.43 3553.95 4313.04 13468.48 1.03?1 1.03?2 1.03?3 1.03?4 1.03?5 --- 1000?(1?1.03?1?2?1.03?2?3?1.03?3?4?1.03?4?5?1.03?5)?13468.48（元）

则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 解：II

表4–2 死亡赔付现值计算表

年份 （1） 1 2 3 年内死亡人数 （2） 100

北京师范大学珠海分校应用数学学院

寿险精算数学教案

10数学精算方向2012年秋

周伟 2012/9/1

寿险精算教案

周伟

2012年秋应用数学学院10级数学与应用数学专业精算方向

周一 5，6节 周三 3，4节 单周五 3，4节

丽泽楼B203

课程相关：

（1）要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式，在练习的过程中加深理解和记忆 （2）计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不能用手机代替计算器 （3）教材：寿险精算 中国精算是协会组编 中国财政经济出版社 （4）参考书：寿险精算数学 王燕 中国人民大学出版社 （5）预习看教材，上课认真听讲，复习看笔记，认真完成练习 （6）概率基础很重要，注意温习 课程考核：

（1）平时30分，期中考试30分，期末考试40分。

（2）平时30分中包含考勤，作业，网上练习，思考题（问题探究）

时间

星期一

星期二 微积分继教2-

1，2

上午

建模A103

3，4

10数学

10信息

10数学精算

C305

建模B202

寿险精算B203

微积分 继教（6-11）

寿险单B203

A204

星期三

星期四

星期五

寿险精算

5，6

B203

下午

高数

7，8

综合B103

建模综合B106单10数学

双10信息

微积分继教2-

C403

高数

单综合B103

微积分 继教（6-

北京师范大学珠海分校应用数学学院

寿险精算数学教案

10数学精算方向2012年秋

周伟 2012/9/1

寿险精算教案

周伟

2012年秋应用数学学院10级数学与应用数学专业精算方向

周一 5，6节 周三 3，4节 单周五 3，4节

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课程相关：

（1）要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式，在练习的过程中加深理解和记忆 （2）计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不能用手机代替计算器 （3）教材：寿险精算 中国精算是协会组编 中国财政经济出版社 （4）参考书：寿险精算数学 王燕 中国人民大学出版社 （5）预习看教材，上课认真听讲，复习看笔记，认真完成练习 （6）概率基础很重要，注意温习 课程考核：

（1）平时30分，期中考试30分，期末考试40分。

（2）平时30分中包含考勤，作业，网上练习，思考题（问题探究）

时间

星期一

星期二 微积分继教2-

1，2

上午

建模A103

3，4

10数学

10信息

10数学精算

C305

建模B202

寿险精算B203

微积分 继教（6-11）

寿险单B203

A204

星期三

星期四

星期五

寿险精算

5，6

B203

下午

高数

7，8

综合B103

建模综合B106单10数学

双10信息

微积分继教2-

C403

高数

单综合B103

微积分 继教（6-

,1

假设某人群的生存函数为S(x)?1?x,0?x?100 100求：

一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率；

一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。 2

已知给出生存函数S(x)?

3、已知 lx?10000(1?100?x,0?x?100，计算F(75),f(75),??75? 20x) 100计算下面各值：

（1）d30,20p30,30q30,10q30

（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命（假定极限年龄为100）。

4、设

S(x)?1?i?0.1x , 0?x?100 1001（）1A30:10 (2)Var(zt) 求：第一问：

（）1A30:10 (2)Var(zt) 第二问：

5、设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为

?1? , 0?t?60 fT(t)??60??0 , 其它计算

（1）Ax(2)Var(zt)(3)Pr(z??0.9)

,1

假设某人群的生存函数为S(x)?1?x,0?x?100 100求：

一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率；

一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。 2

已知给出生存函数S(x)?

3、已知 lx?10000(1?100?x,0?x?100，计算F(75),f(75),??75? 20x) 100计算下面各值：

（1）d30,20p30,30q30,10q30

（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命（假定极限年龄为100）。

4、设

S(x)?1?i?0.1x , 0?x?100 1001（）1A30:10 (2)Var(zt) 求：第一问：

（）1A30:10 (2)Var(zt) 第二问：

5、设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为

?1? , 0?t?60 fT(t)??60??0 , 其它计算

（1）Ax(2)Var(zt)(3)Pr(z??0.9)

第一章 生存分布与生命表

学习目标

□了解常有生命表函数的概率意义、函数表达式及相互关系 □了解生存分布与生命表之间的关系

□了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分数年龄生命表函数的计算方法

S1.1 引言

寿险精算的主要研究都建立在生命个体（如被保险人）的生存情况的基础上。精算学的发展始于对生存分布和生命表的研究。在开始生存分布和生命表的讨论之前，我们先介绍几个基本的概念和符号。

首先，我们用符号（x）表示x岁的生命，用T（x）表示（x）从现在直到死亡之间的时间长度。显然，（x）在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T（x）不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T（x）为（x）的未来生命时间长度随机变量。

用X表示（x）死亡时的年龄。显然，X也是一个随机变量，并且有T（x）=X-x。称X为（x）的寿险随机变量。

如果（x）=（0），即一个新生婴儿，那么很显然，新生婴儿的未来生命时间长度恰好等于其寿命，即T（0）=X。

既然X和T（x）均为随机变量，所以，我们可以研究他们的概率分布情况。基于概率统计的基础知识，我们记X的分布函数为Fx（x），于是

x?0 （1

、| !_

一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..

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非寿险精算中的风险划分测度与研究

【摘 要】精算师设定费率结构时常常因为各种不确定因素不能把保单组合中具有相同风险特征的同质保单划分为一组并且支付相同的组内保费。本文通过经验费率的核心思想“后验校正”,能够利用历史索赔经验信息Y={Y-1,Y-2,L}可以在一定程度上揭示隐藏的未观测特征,从而使得先验信息与后验信息相结合,使得先验信息与后验信息的并集逐渐逼近反映风险真实特征的全集 。 【关键词】费率厘定 一、研究背景

精算师最主要的任务之一就是设计一个能把索赔负担公平的分配到每一个保单持有人的费率结构。如果保单组合中相互之间的风险不是完全相同的(即它们有着不同的分布函数),那么把保单组合中具有相同风险特征的同质保单划分为一组并且支付相同的组内保费的做法理论上是公平的。而用于划分保单的分类变量也就是非寿险精算中常常提到的先验变量,之所以称之为“先验变量”是由于在保单合同生效前,它们的取值就是可以观测确定的。在机动车辆保险中最常用的先验变量大体可分为从人因素、从车因素