复数与复变函数课后答案

第一章、复数与复变函数

1.1知识提要

1.复数的概念

形如z?x?iy的数称为复数，其中x,y为任意实数，i(i2??1)称为虚单位，x,y又称为

z的实部与虚部，记为x?Re(z),y?Im(z).

z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应，平面称复平面.z?x2?y2表示

复数z的向量的长度，称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角，表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值，记作

?0?arcz.

2.复数的各种表示法

（1）复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。

（2）复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示.

（3）复数的三角表达式为z?r(cos??isin?)，其中r?z,?为z?0时任一辐角值. （4）复数的指数表达式为z?re。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代

一．复数与复变函数 ㈠选择

1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.arg(2-2i)=（ ） A.?3?4 B.??4 C.

?4 D.3?4 3.复数方程z=3t+it表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 4.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ ） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z D.e2x 5.下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.

32??argz?2? 6.复数z?1625-825i的辐角为（ ）

A． arctan1 B．-arctan12 C．π-arctan12 D．π+arctan1227.方程Rez2?1所表示的平面曲线为（ ）

A． 圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 8.复数z?-3(cos?5-isin?5)的三角表示式为（ ）

A．-3(cos45?＋isin45?) B．3(cos445?,－isin5?)

C．3(cos45?,＋isin45?) D．-3(cos45?,－isin45?)

9.下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数

习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

i1 （2）

(i?1)(i?2)3?2i13i821 （3）? （4）?i?4i?i

i1?i13?2i解：（1）z?， ?3?2i1332因此：Rez?, Imz??，

13131232z?, argz??arctan, z??i

3131313ii?3?i（2）z?， ??(i?1)(i?2)1?3i1031因此，Rez??, Imz?，

10101131z?, argz???arctan, z???i

310101013i3?3i3?5i（3）z??， ??i??i1?i2235因此，Rez?, Imz??，

323453?5iz?, argz??arctan, z?

232821（4）z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i

（1）

因此，Rez??1, Imz?3，

z?10, argz???arctan3, z??1?3i

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i

版社）

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

复变函数与积分变换 （修订版）

主编：马柏林

——课后习题答案 1 / 48

（复旦大学出

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

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习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

e?iπ/4z??x?iy???x?iy??x?x?y232332?x?iy???x2?y?2xyi??x?iy?2??2xy22222??y?x?y??2xy?i??3?x?3xy??3xy?y2?i3

∴

Im?z3Re?z??x3?3xy2,

??3x2y?y3．

;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i?31?i.

③解： ∵

?1?i3??1?i3??????28??3 ①解e?π4i??3?1??1?3???1???8???3?22???3???1??????3??3?3????

2?2?π??π??cos????isin????????22?4??4???22i???i?22?

?18?8?0i??1

??3??1?

复变函数测验题

第一章 复数与复变函数

一、

选择题

1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ） 1?i（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 61331?i （D）??i 2222（A）?1?3i （B）?3．复数z?tan??i(3?i （C）??????)的三角表示式是（ ） 2?[cos(??)?isin(??)] （B）sec?[cos(（A）sec22??3?3???)?isin(??)] 22?[cos(（C）?sec3?3?????)?isin(??)]（D）?sec?[cos(??)?isin(??)] 2222224．若z为非零复数，则z?z与2zz的关系是（ ）

2222（A）z?z?2zz （B）z?z?2zz

22（C）z?z?2zz （D）不能比较大小

５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x?11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

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华南理工大学期末考试

2013《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 6大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 总分 1.填空题。(每题5分，合计30分)

（1）求 (1?i)的所有的值：

?2k??2k???62?cos(?)?isin(?)?,k?0,1,2

123123?? （2）函数w?(x2?5)?ixy 在如下范围内可导：

(0,0)

（3）在映射w?z3下，区域|w|?3， 0?argw? 21125z?33,argz?(??,??

复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）

复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）

——课后习题答案

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习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

?1?8?0i??1 8

e?iπ/4;

3?5i13;(2?i)(4?3i);?. 7i?1i1?i???4????4?2?2?22 ???i???i??2?2?22??1?i3???1?i3?∴Re?, ?1Im????????0． 22????∵

3④解：

i?π??π?①解e?π4?cos??isin????1?i3??????2????1?3?3???1???3??2??3???1??3???82i?3????3?3?5i??1?7i?1613

②解： 3?5i????i7i?1?1+7i??1?7i?2525

?1?8?0i??1 8③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i 3?1?i?3513=?i???i ④解： ?i1?i222

??1?i3??1?i3?, ∴Re?． Im??1??????0???2??2?2.

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华南理工大学期末考试

2009《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 7大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 7 总分 1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为

（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，

f(z)?在C的外部，则积分?dz? 2009(z??)C

（3）在映射w?z2

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?C

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u