和差问题是几年级的数学

解析几何最值问题的解法

上海市松江一中 陆珲

解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：

1、化为二次函数，求二次函数的最值； 2、化为一元二次方程，利用△； 3、利用不等式；

4、利用函数的单调性和有界性； 5、利用几何法。

在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。 例题1：如图已知P点在圆x2?(y?4)2?1上移动，

x2?y2?1上移动，求|PQ|的最大值。 9Q点在椭圆

[分析：如图先让Q点在椭圆上固定，显然PQ通大，因此要|PQ|的最大值，只要求|OQ1|的最大

222解：设Q点坐标(x,y)，则|OQ ①， |?x?(y?4)1过圆心O1时|PQ|最值。]

x2因Q点在椭圆上，故?y2?1 ②

9121?Q点在椭圆上移动，??1?y?1 ?y??时，|OQ1|min?27?33 2把②代入①得|O1Q|2?9(1?y2)?(y?4)2??8(y?)2?2

解析几何最值问题的解法

上海市松江一中 陆珲

解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：

1、化为二次函数，求二次函数的最值； 2、化为一元二次方程，利用△； 3、利用不等式；

4、利用函数的单调性和有界性； 5、利用几何法。

在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。 例题1：如图已知P点在圆x2?(y?4)2?1上移动，

x2?y2?1上移动，求|PQ|的最大值。 9Q点在椭圆

[分析：如图先让Q点在椭圆上固定，显然PQ通大，因此要|PQ|的最大值，只要求|OQ1|的最大

222解：设Q点坐标(x,y)，则|OQ ①， |?x?(y?4)1过圆心O1时|PQ|最值。]

x2因Q点在椭圆上，故?y2?1 ②

9121?Q点在椭圆上移动，??1?y?1 ?y??时，|OQ1|min?27?33 2把②代入①得|O1Q|2?9(1?y2)?(y?4)2??8(y?)2?2

牛吃草问题是行测数学运算中的重要问题，我刚开始也不会做，于是在论坛上找了很久，看了很久，终于找到了一种“无敌”解题办法，可对各种“牛吃草”以及到目前为止演变出来的各种新题型通杀。

在此我特别感谢以下给出思路的三位前辈，谢谢！ 序章：问题提出

我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明 例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

分析与解：例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地．（这就两者本质的区别） 第一章：核心思路

[普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思]

现在来说我的核心思路：

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设27头牛中有

X头是“剪草工”

，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27－X

牛吃草问题是行测数学运算中的重要问题，我刚开始也不会做，于是在论坛上找了很久，看了很久，终于找到了一种“无敌”解题办法，可对各种“牛吃草”以及到目前为止演变出来的各种新题型通杀。

在此我特别感谢以下给出思路的三位前辈，谢谢！ 序章：问题提出

我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明 例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

分析与解：例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地．（这就两者本质的区别） 第一章：核心思路

[普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思]

现在来说我的核心思路：

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设27头牛中有

X头是“剪草工”

，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27－X

题型一：强酸（强碱）加水稀释后的pH计算

例1:将pH=3的盐酸溶液，稀释1000倍，则稀释后溶液的pH为？（若稀释成原来的10倍呢？）

例2：将pH=12的NaOH溶液，稀释1000倍，则稀释后溶液的pH为？（若稀释成原来的10倍呢？）

思考：将pH=3的醋酸溶液，稀释1000倍，则稀释后溶液的pH为 ？

题型二：两种强酸（或强碱）混合后pH的计算：

（1）强酸溶液之间的混合

例3：pH=6和pH=3的两种盐酸，以等体积混合后，溶液的pH是（ ）

A. 2 B.3.3 C.4 D.8

+++-求解方法：求[H] pH，[H]=（[H]1V1 + [OH]2V2）/（V1 + V2）

速算规律：当V1=V2，pH相差2个单位以上时，pH（混） = pH（小） + 0.3

（2）强碱溶液之间的混合

例4:将pH=10的NaOH溶液与pH=12的NaOH溶液以1:2体积比混合，混合后的pH最接近于（ ）

A.10.5 B.11.8 C.10.8 D.11

-+

求解方法：先求[OH] 再求出[H]

一、 和差问题

和差问题定义：已知几个数的和与差，求这几个数的问题叫和差问题。 主要方法：线段图。

例1、 一根长20米的绳子剪成长短不一的两根绳子，已知较长的绳子比较短的

绳子长4米，请问剪开后这两根绳子分别长多少米？

练习：

1、兄弟二人今年的年龄之和是25岁，哥哥比弟弟大5岁，今年哥哥、弟弟分别多少岁？

2、小敏和妈妈今年的平均年龄为20岁，三年后妈妈比小敏大28岁，问今年小敏和妈妈各多少岁？ 3、已知一个大正方形和一个小正方形，它们的边长之和是70cm，边长之差是14cm，求这两个正方形的面积各是多少？

4、学校有排球和篮球共62个，排球比篮球多12个，排球、篮球各有多少个？

5、三、四年级的同学收集树种145千克，三年级比四年级少17千克。求三、四年级各收集树种多少千克？

1

例2、今年小刚和小强两人年龄和为22岁，一年前小刚比小强大4岁，问今年

小刚和小强各是多少岁？

练习：

1、 弟弟有图书30本，哥哥有图书90本，哥哥给弟弟多少本后，哥哥的图书比弟弟多16本？

2、爸爸妈妈年龄之和是55岁，已知3年前妈妈比爸爸小3岁，今年爸爸妈妈各是多少岁？

3、已知一个长

和差问题

教学目标：

1、通过直观演示的教学，让学生理解和差问题的特点及其解题思路，学会解决身边的数学问题。

2、了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性. 教学重点：

让学生通过直观演示，合作探究，掌握和差问题的特点及其解题思路。 教学难点：

理解和差问题的解题思路。 教学过程： 一、谈话引入

我们在小学中学习了和差问题，谁能说一说什么是和差问题吗？ 二、典型例题

例1：小宁和小芳的年龄和是28岁，小宁比小芳大2岁，小芳今年几岁？小宁今年几岁？

1. 学生读题，思考。 2. 指定学生画图分析。

师：据图所知：如果小芳增加2岁 ，年龄和也增加2；即28+2=30岁 ，30岁相当于2个小宁的年龄，因此小宁： 30 ÷2=15（岁）小芳： 15-2=13（岁）。

师：刚才我们把小芳的年龄增加了2岁，那我们能否把小宁地年龄减少2岁呢？

师：据图所知：如果小芳减少2岁，年龄和也减少2；即28-2=26岁，26岁相当于2个小芳的年龄，因此，小芳： 26 ÷2=13（岁）；小宁： 13+2=15（岁） 师：我们一起来总结一下解题方法。

1）已知两个数的和与它们的差，求两个数各是多少的应用题叫做和差应用题。 2） 解答方法：

和差问题

1. 将苹果放入一些篮子中，如果每篮放8个，则缺少21个；如果每篮改为放6个，则缺少3个。求篮子的只数和苹果的个数。

2. 老师给同学们发练习毛笔字时用的宣纸，如果每人发8张，则有3个学生没发到；如果每人发6张，则正好发完。问有多少个学生？有多少张宣纸？

3. 同学们植树，如果每人种2棵，还有18棵没种；如果每人种5棵，还有3棵没有种，问有多少名同学在植树？有多少棵树？

4. 小军将自己收藏的一些画片送给幼儿园大班的小朋友们。如果每人分9张，还多12张，如果每人分10张则正好分完，幼儿园大班有多少个小朋友？画片一共有多少张？

5. 小芳把鲜花插入一些花瓶中，如果每个花瓶里插5支则多12支，如果每个花瓶里插8支还多3支，请问每个花瓶里分插多少支花可以刚好把鲜花分完?

6. 四年级某班的同学去植树，他们分了一下小组，如果增加一小组，正好每小组5人；如果减少一小组，正好每组7人。问：这个班共有多少个同学？

1

7. 导游给某旅行团的成员分配宿舍，如果每个房间住4人，则24人没有位置；如果每个房间住6人，则空出8个房间，求宿舍有多少间？旅行团的成员有多少人？

8. 某

第一讲 和倍问题

例1.甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

解：160?（3+1）＝40（本）………………乙班 40?3＝120（本）

或160－40＝120（本）………………………甲班

例2.甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？ 分析：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量。从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量。最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍。

解：（30+120）?（2+1）＝150?3＝50（本） 乙班现有图书 50－30＝20（本）

例3.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 分析：把女生人数看作1倍数，则男生人数加上40是3倍数，那么全校人数加上40就是4倍数（见图）。

解：（760+40）?（3+1）＝200（人）…………女生 200?3－40＝560（人）

或760－200＝560（人）…………………………男生

例4.果园里有桃树、梨树、苹

和差问题

已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备.

知识点拨:

和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式，有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。方法如下:

方法一: (和+差)+2= 大数和-大数=小数

方法二: (和-差)+2=小数和-小数=大数

例1、两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克

例2.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵.桃树和梨树各有多少棵

例3.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第- -段比第二段短2米，每段各长多少米

习题锦:

1、三年级有164名学生，参加美术兴趣小组的有28人，参加音乐小组的人数是美术小组的2倍，参加体育兴趣小组的人数是小组2倍，如果每人至少能参加一项兴趣小组，最多能参加两项兴趣小组活动，那么参加两项的至少有多少人

解:美术兴趣小组的有28人，参加音乐小组的有56人，参加体育兴趣小组的有112人，如果都只参加一项，三个小组的总人数刚好应是164人，现在三个