如何三等分任意角

关于任意角的三等问题

数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业

105012007016 张成娇

【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》

中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究.

【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究；

1

一、前言

《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义．

本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明.

二、关于任意三等分角的历史

在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东

受一位耄耋老人----笔名 义墨之托,邀我向网上公布他的研究成果,有请各位专家审核,评价。义墨是个热心人,现在居住在湖南省临湘市坦渡乡敬老院,为人正直、刚正不阿、生活简朴。他在古诗创作方面有所建树,撰写了几百首古体和现代体诗词,特别在古代数学几何作图难题之一----求作三等分之角方面,他潜心钻研十余年,其成绩能否得到专家们的肯定,请审查、验证。

受一位耄耋老人----笔名 义墨之托,邀我向网上公布他的研究成果,有请各位专家审核,评价。义墨是个热心人,现在居住在湖南省临湘市坦渡乡敬老院,为人正直、刚正不阿、生活简朴。他在古诗创作方面有所建树,撰写了几百首古体和现代体诗词,特别在古代数学几何作图难题之一----求作三等分之角方面，他潜心钻研十余年,其成绩能否得到专家们的肯定,请审查、验证。

用 圆 规 、直 尺 求作∠O的三等分

湖南省临湘市坦渡乡敬老院

义 墨

2012.7.18

用圆规直尺求作∠O的三等分

湖南省临湘市坦渡乡敬老院 义墨

一、作法（一）求“ D ”如下图

受一位耄耋老人----笔名 义墨之托,邀我向网上公布他的研究成果,有请各位专家审核,评价。义墨是个热心人,现在居住在湖南省临湘市坦渡乡敬老院,为人正直、刚正不阿、生活简朴。他在古诗创作

二等分 幼儿园大班数学教案

幼儿园大班数学教案——二等分

一、活动目标：

1、通过尝试性的操作和判断，学习将一个物体分成相等的两份，感知整体和部分的关系。 2、探索物体等分的多种方法，激发幼儿对等分的兴趣。 3、发展幼儿的观察能力,比较能力,判断能力。

二、活动准备：

1.材料：绸带，纸（圆行，正方形，长方形），等分练习纸。 2.工具：笔,剪刀,直尺。

三、活动过程：

（一）讲解演示 1.“小朋友，今天老师的头发有什么变化吗？（扎两个辫子）我还要给两条小辫扎上漂亮的绸带，现在只有一根绸带，怎么办才能扎两根小辫呢？”

2. 组织幼儿讨论，等充分表达意见后，教师边讲解边演示，让幼儿注意观察。 3. 把绸带两头对折，剪成一样大小的两份，叫二等分。使幼儿感知二等分的含义。 ＊次环节以形象直观的具体事物——绸带为材料，吸引了幼儿的注意力；并提出问题，让幼儿开动脑筋，帮助分绸带。通过把操作的过程与结果展现给幼儿，使幼儿初步认识“二等分”这一概念。

（二）操作探索 操作一：

1. 为幼儿提供圆形材料，幼儿动手操作，教师巡回指导等观察。 2. 组织幼儿讨论等分方法。

3. 小结：把圆形对折，然后剪成一样大小的两份，叫二等分。使幼儿进一步

任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

【知识梳理】 1．角概念的推广

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角； （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角。 ①象限角及其集合表示：

②轴限角及其集合表示：

2.终边相同的角

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 3.弧度制

（1）1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。

（2）角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是

l. r

180

（3）弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°,1°＝

≈0.01745（rad）。

（4）弧长、扇形面积的公式

弧长公式：l | |r（ 是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：S 4．三角函数定义

5．三角函数线:(三角函数象限符号)

11

lr | |r2。 22

6．同角三角函数的基本关系

sin 22 tan

（1）平方关系：sinα+cosα=1;（2）商数关系：

任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

【知识梳理】 1．角概念的推广

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角； （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角。 ①象限角及其集合表示：

②轴限角及其集合表示：

2.终边相同的角

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 3.弧度制

（1）1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。

（2）角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是

l. r

180

（3）弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°,1°＝

≈0.01745（rad）。

（4）弧长、扇形面积的公式

弧长公式：l | |r（ 是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：S 4．三角函数定义

5．三角函数线:(三角函数象限符号)

11

lr | |r2。 22

6．同角三角函数的基本关系

sin 22 tan

（1）平方关系：sinα+cosα=1;（2）商数关系：

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任意角的三角函数（第一课时）

一. 教学目标设计 1、认知目标:

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

（2）会作单位圆中的三角函数线；初步领会三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号；

（3）会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值； （4）加深对函数一般概念的理解。 2、能力目标:

在学生原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义及几何表示，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。 3、情感目标:

（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； （3）以科学史激励学生，培养学生追求真理的精神。 二. 教学内容及重点、难点及关键的分析 教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义

教学难点 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义及单位圆中三角函数的概念。

教学关键 抓住初中所学的三角函数的定义方法，与新问题形成知识冲突，激发学生学习的兴趣；直观地

附表2.2：

授权签字人申请表

实验室名称：湖南省水环境监测中心娄底分中心

姓 名： 赵文华 性 别： 男 出生年月： 1978年8月 职 务：副局长 职 称： 工程师 文化程度： 工程硕士 部门： 娄底分中心 电话： 0738-8619077 传真：0738-8619077 电子邮件：zhaowenhua8888@tom.com 申请签字的领域：娄底分中心检测报告签发 何年毕业于何院校、何专业、受过何种培训：2002年毕业于华北水利水电学院环境工程专业，2011年河海大学水文水资源工程硕士专业毕业。2002年12月参加省水文局组织的实验室人员新上岗培训，2003年7月参加全省水利系统专业技术人员继续教育培训，2004年12月参加省水利厅组织的水资源公报编制方法培训，2005年8月参加湘潭市组织的水政执法培训，2

荣获三等奖学生名单

（共17494人，其中贵港三区：9041人，桂平：4490人，平南：3963人）

贵港三区（9041人）

包东亮 包俊杰 包世宇 包泽民 鲍翠翠 鲍美玲 鲍铭蔚 闭安凤 闭彬锋 闭斌燕 闭彩冰 闭彩萍 闭彩艳 闭春梅 闭丹莉 闭冬梅 闭飞鹏 闭飞扬 闭港锐 闭格格 闭寒冰 闭恒娟 闭焕婷 闭惠琴 闭家健 闭家乐 闭家顺 闭嘉慧 闭嘉菊 闭嘉欣 闭嘉雄

冯紫瑶 黄金暖 黄赵旺 李秋燕 梁一峰 卢玉诗 庞梅 付丽冰 黄金裙 黄贞

覃小洪 韦力

熊丽洁 曾婷

符斯娴 黄金情 黄照升 李秋雨 梁一伟 卢玉婷 庞梅金 覃小奎 韦力文 熊琼媚 曾威力

李秋韵 梁依梅 卢钰雪 庞明亮 覃小莉 韦立山 熊秋美 曾文风

覃小丽 韦丽嫦 熊设

曾文康

付日棠 黄金群 黄珍明 李仁可 梁怡芳 卢远超 庞倩

付显茹 黄金群 黄珍艳 李仁伟 梁怡昕 卢远静 庞倩文 覃小丽 韦丽芳 熊胜琳 曾雯 付燕珍 黄金容 黄真凤 李任平 梁义程 卢志豪 庞琴 覃小玲 韦丽红 熊瑶 曾祥乐 付月梅 黄金容 黄振宝 李荣慧 梁忆 傅春菊 黄金贤 黄振梅 李荣娇 梁奕

陆保孟 庞晴 覃小梅 韦丽红 徐安妮 曾小翠 陆彬彬 庞庆超 覃小敏 韦丽华 徐海婵 曾小燕

傅冬

《任意角的三角函数》

尊敬的各位评委、老师大家好！今天我说课的题目是《任意角的三角函数》，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教法学法、教学过程、以及设计分析这

六个方面来阐述我对本节课的理解与设计。

一、教材分析

教材是新课程标准的具体化，是教师教、学生学的具体材料，要把握好教材，落实教学目标，必须准确理解课程标准，因此在认真研读课程标准和教材的基础上我从以下三个方面展开对教材的分析

首先来看，教材的地位与作用

本节课选自人教版高中数学必修4第1章第2节第1课时。学生已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础，使三角函数的学习有一个好的“先行组织者”。三角函数的定义是本章最基本的概念，同时也是其他所有知识的出发点。可以自然地导出本章的具体内容，在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。它所应用的类比、数形结合是今后研究数学的基本思想方法。因此，本节内容在教材中处于非常重要的

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

“第三届全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动”说课参赛教案

任意角的三角函数（第一课时）

教材：人民教育出版社中学数学室编《全日制普通高级中学教科书（必修） 数学 第一册（下）》（2003

年12月第一版，2005年11月第三次印刷）.

一、教学目标

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；

了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.

2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三

角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经

验.

3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相

互转化的辩证唯物主义世界观.

4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.

二、重点、难点、关键

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数.

关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（ α确定，比值也随之

确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）.

三、教学理念和方法

教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、

记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动