二次函数动点直角三角形

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二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线y?12x?x?c与x轴有交点． 2(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞

1 211 ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 221∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限

2(2)∵c＞

2.(2011南京)已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，y?1．

2所以不论m为何值，函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

2

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)?4m?0，m?9．

2综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

223、如图，二次函数y??12x?

初四数学达标检测

（时间１２０分钟，满分１２０分）

1.函数y=2?x的自变量x的取值范围是（ ） x?1A x?2 B x<2 C x> - 2且x?1 D x?2且x?–1

2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）． A 7sin35° B

3. 将抛物线y?2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A y?2(x?1)2 B y?2(x?1)2 C y?2x2?1 Dy?2x2?1

4.二次函数y??3x2?6x?5的图象的顶点坐标是（ ）

， B．(18)， A．(?18)

2) C．(?1，?4) D．(1，7cos350 C 7cos35° D 7tan35°

5.一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢 球距地面的高度是（ ）米

A．5sin31? B．5cos31? C．5tan31?

D．5cot31?

56.一种新型礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h??t2?20t?1，

2若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）

A．3s

因动点产生的直角三角形问题

1.（2013崇明二模）已知：⊙O的半径为3，OC?弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，?ECO??BOC，射线CE

OB相交于点F．设AB?x, CE?y

）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域； ）当?OEF为直角三角形时，求AB的长； ）如果BF?1，求EF的长． E O F A D B C

（第25题图）

O （备用图1）

CE与射线（1（2（3

2.（2013黄浦二模） 如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD= （1）当AB∶CD=1∶3时，求梯形ABCD的面积； （2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长； （3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长.

4，E是腰AD上一点，且AE∶ED=1∶3. 3A E B D C

3.（2013浦东二模）已知：如图，点A（2，0），点B在y轴正半轴上，

1OA．将点B绕点A顺时针方向旋转90?至点C．旋转前后的

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全

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二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线y?12x?x?c与x轴有交点． 2(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞

1 211 ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 221∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限

2(2)∵c＞

2.(2011南京)已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，y?1．

2所以不论m为何值，函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

2

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)?4m?0，m?9．

2综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

223、如图，二次函数y??12x?

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全

二次函数中直角三角形存在性问题

1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么

以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1

以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

例一：如图，抛物线y?mx?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

2（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

1

例二、如图，抛物线y=-x+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△

直角三角形相似的判定AA′c

b∟

B

a

C

B′

C′

一、复习提问1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三答：

角形相似的方法？

(1)两角对应相等的两个三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

2、判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。

课堂练习填空：(填相似或不相似)

1、一个三角形有两个角分别是60°和35°, 另一个三角形的两个角分别是60°和85°, 那么这两个三角形 。 相似2、一个三角形的三边分别是3、4、5,另 一个三角形的三边分别是6、8、10,那么 这两个三角形 相似 。

3、一个三角形的两边分别是3和7, 它们的夹角是35°,另一个三角形的 一个角是35°,夹这个角的两边分别 是14和6,那么这两个三角形相似 。

例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=900, ∴ ΔACD∽ΔABC(两角对应相等，两 三角形

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全

直角三角形的教学反思

本节课学习直角三角形的性质及判定，先引导学生回顾以前对勾股定理的证明，再引导学生学习勾股定理的逆定理的证明，直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，本节努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此直接展现给学生学习。

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题。学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性。另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异