导数在研究函数中的应用

课题：《直线与圆锥曲线的位置关系》

课型：高三复习课

授课人：尤溪一中 陈绍朗 2011-11-23

一．【考纲要求】

1.了解圆锥曲线的实际背景；

2.了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 3.理解直线与圆锥曲线的位置关系； 4.了解圆锥曲线的简单应用； 5.理解数形结合的思想．

二．【命题走向】

近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题的重要位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等．

三．【教学目标】

1．知识目标：巩固直线与圆锥曲线的基本知识和性质；掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，主

要是利用判别式法，以及分类讨论法，会求参数的值或范围等．

2．能力目标：直线与圆锥曲线位置关系的问题始终是解析几何的一个主要问题，是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。要求学生能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系；弦长公式的理解与灵活运用；通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理，使解题过程得到优化，同时使得学

\

- 1 -

导数在研究函数中的应用

1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足2

2

()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）

.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值

.C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值

【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知233

2()2()()x x e f x e x f x f x x x x -￠=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())

22(1).)

x x x x e x f x xf x e e e x x 则令￠==--+=-=-=--

由()0g x ￠=得2x =,当2x =时,

2

22min ()2208

e g x e =-创= 即()0g x 3,则当0x >时,3()()0g x

f x x ￠=

, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.

2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013

高三数学第一轮复习 学案 8月 日

第十一讲 导数在函数的单调性、极值、最值中的应用 姓名_________

一、知识梳理： 1．单调性与导数

1）① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数； 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在

?a,b?上恒成立；

f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立。

2）求函数f(x)的单调区间的步骤：

① ；② ；③ ．④ ． 2．极值与导数

1） 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 2)如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 3)如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 。

注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值

第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

强化训练

1.f(x)?x?3x?2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 答案:C

解析:f′(x)?3x?6x?3x(x?2),令f′(x)=0可得x=0或2(2舍去),当?1?x?0时,f′(x)>0,当0?x?1时,f′(x)<0,所以当x=0时,f(x)取得最大值2.

2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值点共有( )

232 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:A

解析:观察题中图象可知,f′(x)只有一处是先小于0,后大于0的.

3.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,则仓库容积的最大值为 m3. 答案:300

解析:设长为x m,则宽为(20-x) m,仓库的容积为V, 则V?x(20?x)?3??3x?60x? V′=-6x+60,令V′=0,得x=10.

当0

第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

强化训练

1.f(x)?x?3x?2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 答案:C

解析:f′(x)?3x?6x?3x(x?2),令f′(x)=0可得x=0或2(2舍去),当?1?x?0时,f′(x)>0,当0?x?1时,f′(x)<0,所以当x=0时,f(x)取得最大值2.

2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值点共有( )

232 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:A

解析:观察题中图象可知,f′(x)只有一处是先小于0,后大于0的.

3.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,则仓库容积的最大值为 m3. 答案:300

解析:设长为x m,则宽为(20-x) m,仓库的容积为V, 则V?x(20?x)?3??3x?60x? V′=-6x+60,令V′=0,得x=10.

当0

高中全程复习方略·数学(RJA版·理科)

(A)x-1y=3(C)x+5y=3

(B)x+5y=-3(D)xy=2

(已知函数f(则当x=π5.2012·柳州模拟)x)=2xsinx,

2【解析】′(x)=2sinx+2xcosx,f时,其导函数的值为　　　　　.∴m=3.

(,已知f(的导数3.2012·深圳模拟)x)=lnx(x>0)x)f(

(),所以切线方程为y-2=3即y=36=3.x-1x-1.

2

【解析】选A.由y切线斜率为k=-3+′=-3x+6x知,

1,1,,,是f若a=f(则a、′(x)7)b=f′()c=f′()b、c

23的大小关系是

(B)a<b<c

ππππ

∴f′()=2sin+2··cos=2.

22答案:2

(A)c<b<a(C)b<c<a

(　　)

1故1【)解析】选B.又fa=f(7=ln7,′(x)=,b=f′()

2111故c>==2,c=f′)==3,b>a.

13123

3

(D)b<a<c

13

(,已知函数f(则6.2012·宜昌模拟)x)=x+3x′(0)f

3)等于′(1f

.

2

【),解析】∵f′(x

导数在研究函数中的应用

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身 1．[2011·东莞模拟] 当x≠0时，有不等式( )

A．ex<1＋x B．当x>0时，ex<1＋x，当x<0时，ex>1＋x C．ex>1＋x D．当x<0时，ex<1＋x，当x>0时，ex>1＋x 2．[2011·开封模拟] 如图K14－1，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )

图K14－1 A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 3．[2011·福建卷] 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )

A．2 B．3 C．6 D．9

1－x1?

4．[2011·无锡模拟] 已知a≤＋lnx，x∈??2，2?恒成立，则a的最大值为( ) xA．0 B．1 C．2 D．3 能力提升 5．[2011·郑州模拟] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有( )

A．0个 B．1个 C．2个

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材

习题点拨 新人教A 版选修2-2

教材问题解答

(问题)

如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )有什么特征？

答：如果在某个区间上恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是常数函数． (思考)

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系．

答：函数y ＝f (x )的平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1

的几何意义是经过(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点直线的斜率．

当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率

f x 2－f x 1x 2－x 1＞0；当导数为负值时，函数单调递减，平均变化率

f x 2－f x 1x 2－x 1＜0. (问题)

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性． 练习1

导数在研究函数中的应用单元测试

一、选择题

1．下列函数在()

-+

，

∞∞内为单调函数的是（）

Ａ．2

y x x

=-Ｂ．y x

=

Ｃ．x

y e-

=Ｄ．sin

y x

=

答案：Ｃ

2．函数ln

y x x

=在区间(01)，上是（）

Ａ．单调增函数

Ｂ．单调减函数

Ｃ．在

1

e

??

?

??

，上是单调减函数，在

1

1

e

??

?

??

，上是单调增函数

Ｄ．在

1

e

??

?

??

，上是单调增函数，在

1

1

e

??

?

??

，上是单调减函数

答案：Ｃ

3．函数23

()(2)(1)

f x x x

=+-的极大值点是（）

Ａ．

4

5

x=-Ｂ．1

x=Ｃ．1

x=-Ｄ．2

x=-

答案：Ｄ

4．已知函数32

()

f x x px qx

=--的图象与x轴相切于(10)

，极大值为4

27

，极小值为（）

Ａ．极大值为4

27

，极小值为0

Ｂ．极大值为0，极小值为

4 27 -

Ｃ．极大值为0，极小值为

5 27 -

Ｄ．极大值为5

27

，极小值为0

答案：Ａ

5．函数2cos

y x x

=+在

π

2

??

??

??

，上取最大值时，x的值为（）

1

Ａ．0 Ｂ．π

6

Ｃ．

π

3

Ｄ．

π

2

答案：Ｂ

6．设函数()

f x在定义域内可导，()

y f x

=的图象如图1所示，则导函数()

y f x

'

=的图象可能为（）

答案：Ｂ

二、填空题

7．函数2

2ln(0)

y x x x

=->的单调增区间为

考点10 导数在研究函数中的应用

与生活中的优化问题举例

一、选择题

1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数f?x??axn?1?x?在区间?0,1?上的图象如图

2所示，则n可能是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.

【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，f(x)?ax(1?x)2?a(x3?2x2?x)，则

1f?(x)?a(3x2?4x?1)，由f?(x)?a(3x2?4x?1)=0可知，x1?,x2?1，结合图象可知函

3111数应在（0，）递增，在递减，即在x?处取得最大值，由 （,1）3331111f()?a??(1?)2?,知a存在. 33322.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f?(x)?2，则f（x）＞2x+4的解集为

（A）（-1，1） （B）（-1，+?） （C）（-?，-1） （D）（-?，+?） 【思路点拨】先构造函数g(x)?f(x)?(2x?4)，求其导数，将问题转化为求g(x)单调性问题即可求解．

【精讲精析】选