多元函数的极限与连续

§11-2 函数的极限与连续

多元函数的极限例：(人影长度) :(人影长度) 人影长度

zC B D hP(x,y)

PD h = PD + OP Hh PD = x2 + y 2 H h2

H

o

y

x2

OP = ρ = ( x 0) + ( y 0) → 0

PD=f(x,y) →0

二、 二元函数的极限设 函 数 z = f ( x, y) 的 定 义 域 为 是其内点或边界点， D, P0 ( x 0 , y 0 )是其内点或边界点，如果对任意给 定 ε >0 , 总 存 在 正 数 δ , 使 得 适 合 2 2 0 <| PP0 |= ( x x 0 ) + ( y y 0 ) < δ 的 一 切 成立， 点，都有| f ( x , y ) A |< ε 成立，则称 A 为函数 时的极限， z = f ( x , y ) 当 x → x 0 , y → y 0 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) = A 定 义 (或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0)这里 ρ =| PP0 |).x → x0 y → y0

r 是其内点或边界点， 定义 设 n元函数 f (r) 的

§11-2 函数的极限与连续

多元函数的极限例：(人影长度) :(人影长度) 人影长度

zC B D hP(x,y)

PD h = PD + OP Hh PD = x2 + y 2 H h2

H

o

y

x2

OP = ρ = ( x 0) + ( y 0) → 0

PD=f(x,y) →0

二、 二元函数的极限设 函 数 z = f ( x, y) 的 定 义 域 为 是其内点或边界点， D, P0 ( x 0 , y 0 )是其内点或边界点，如果对任意给 定 ε >0 , 总 存 在 正 数 δ , 使 得 适 合 2 2 0 <| PP0 |= ( x x 0 ) + ( y y 0 ) < δ 的 一 切 成立， 点，都有| f ( x , y ) A |< ε 成立，则称 A 为函数 时的极限， z = f ( x , y ) 当 x → x 0 , y → y 0 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) = A 定 义 (或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0)这里 ρ =| PP0 |).x → x0 y → y0

r 是其内点或边界点， 定义 设 n元函数 f (r) 的

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。 （ 二、填空题

1.函数y?f(x)与其反函数y?

第一章、函数、极限和连续（约20%）

一、函数

（一）．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

1、函数的概念：

设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x?D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。已知函数

f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域。

2、定义域的求法原则

（1）分母不为零 （2）x，x?0 （3）lnx,x?0 （4）arcsinx,arccosx,?1?x?1

（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1、 求的定义域：（1）y?4?x2?ln?x2?1?

（2） y?1+x?ln?4?x??（3）y?【提升】

1 x?3x2?4?1 x?1例2、 当0?x?1是函数f(x)的定义域，求f(sin2x)的定义域。 例3、当0?x?4是函数f(x?2x?4)的定义域，求f(x)的定义域。

3、表达式、函数值

例4、下列各对函数中，两个函数相等的是 ———————

专插本数学复习题（兰 星）

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ ） 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。

专插本数学复习题（兰 星）

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ ） 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作liman?a，或an?a?n????.这时，也称?an?的极限

n???存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称

??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于??，记作

liman???n???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限，对于??,?的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则

?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.?nn?nnn??n??n??n??n??n??

?an?若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列，且有

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

1

《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

f x x2

x3 1

x 1与函数g x x 1相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

f x x2

x3 1

x 1与g x 函数关系相同，但定义域不同，所以f x 与g x

x 1

是不同的函数。

2、如果f x M（M为一个常数），则f x 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列xn 1 是有界数列，但极限不存在

n

4、n

liman a，liman a．

n

n

n

n

错误 如：数列an 1 ，lim( 1)

x

1，但lim( 1)n不存在。

n

5、如果limf x A，则f x A （当x 时， 为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果 ～ ，则 o ．

1，是

∴lim lim 1 0，即 是 的高阶无穷小量。

2

7、当x 0时，1 cosx与x是同阶无穷小．

2

xx 2sin2sin

1 cosx1 1 lim lim2 正确 ∵limx 0x 0x 04