函数项级数一致收敛的充要条件

摘 要

函数项级数是数学分析中的一个重要的概念,在工程技术领域也有着重要应用. 关于函数项级数的问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别往往比较困难,我们的教材中对于函数项级数?un(x)的收敛判别给出了一些基本方法,然而这些方法却只能解决一些常见的问题,对于很多其它类型的函数项级数,我们需要寻求其它更为方便的方法。例如,我们可以把正项级数的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法和它们的极限形式顺利地推广到函数项级数的一致收敛的判别上,此外,还有很多种不常见的判别函数项级数一致收敛的方法,它们在处理某些类型函数项级数一致收敛判别问题上有着很重要的应用。本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究,为今后在处理函数项级数一致收敛性的判别提供理论基础。

关键词：函数项级数、 一致收敛、函数列、部分和数列

n?1?

Ⅰ

Abstract

The function series is an important concept in mathematical analysis ,also has its importing application in e

一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于?un(x)一致收敛性的判别法，如Cauchy判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了

渤海大学学士学位论文

题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

指导教师：

目录

摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------

第三节 函数项级数的一致收敛性

本节将讨论函数项级数有关性质。

定义 1 设 u1(x)，u2(x)，……，un(x)，……，是集合E上的函数列，我们称形为

u1(x)+u2(x)+……+un(x)+……

为E上的函数项级数，简记为

?un?1?n(x) 。其中un(x)称为第n项.

?uk(x)+uk?1(x)+……+un(x)+……也记为?un(x). 记号中n可以用其它字母代之.

n?k 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设

?un?1?n(x)是集合E上的函数项级数，记

nSn(x)??ui(x)=u1(x)+u2(x)+……+un(x)，

i?1它称为级数

?un?1?n(x)的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. ?Sn(x)?称为

?un?1?n(x)的部分和函数列。

?如果?Sn(x)?在x0点收敛，我们也说

???un?1n(x)在x0点收敛或称x0为该级数的收敛点。

如果

?|un?1n(x)|在x0点收敛，我们称?un(x)在x0点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一

n?1定收敛。

?Sn(x)?的收敛域也称为该级数的收敛域。如果?Sn(x)?在x0点不收敛，我们说

?un?1?n(x)在x0点

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题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

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摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------

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题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

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摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------

函数项级数一致收敛性的判别法

摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.

关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1

Function Seies Convergence Criterion

Abstract：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the s

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一、问题的提出问题:有 限个连 续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？

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例1 考察函数项级数x (x x) (x x ) (x x2 3 2 n n 1

)

和函数的连续性. 解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，n

且 sn ( x ) x ,

得和函数：0 x 1, x 1.

0, s ( x ) lim s n ( x ) n 1,和函数 s ( x ) 在 x 1 处间断 .

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结论 函 数 项 级 数 的 每 一 项 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 并 且级 数 在 [a , b ] 上 收 敛 ， 其 和 函 数 不 一 定 在[a , b ] 上 收敛 .同样函 数项 级数的 每一 项

附件6 编号

学士学位论文

学生姓名： 学 号： 系 部： 专 业： 年 级： 指导教师： 完成日期： 年 月 日

中文摘要

函数级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题函数级数和函数的分析性质是技术的一致收敛有关.

因此本论文中提出函数级数一致收敛的几种重要判别法，并对此方法进行证明；

关键词：一致收敛性，收敛，单调，一致有界，收敛准则，绝对收敛，娶点定理

英文题名，字体Times New Roman,字号小二

Abstract

此处为英文摘要，Times new roman字体，12pt. ，行间距1.25。

Key words：多个关键词之间用分号隔开

2

目 录

中文摘要 .................................................................................................................... 1 ABSTRACT ........................

编号

学士学位论文

函数项级数一致收敛的判别法

学生姓名： 艾斯凯尔· 海力麦提 学 号： 20050101041 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-3班 指导教师： 托合提·赛都拉 完成日期： 2011 年 4 月 30 日

学 士 学 位 论 文

BACHELOR ’S THESIS 摘要

函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题，函数级数和函数的分析性质一致收敛有关.

因此本论文中提出了函数级数?uk?x?一致收敛的柯西一致收敛准则，魏

k?1n尔斯特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，精细的狄尼（Di ni）定理，确界判别法，导数判别法，比试判别法，根式判别法等几种重要判别法，并应用函数项级数一致收敛的定义，柯西一致收敛准则和M判别法给出了论文中所有结论的证明.

关键词：一致收敛性，收敛，单调，一致有界，收敛准则，绝对收敛，聚点