三角向量题目

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料

三角函数和平面向量专题复习

一.高考考试内容及要求：

1.三角函数考试要求：

（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义；

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义；

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示；（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。 2. 平面向量考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； （2）掌握向量的加法和减法；

（3）掌握实数与向量的积，理解

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料

三角函数和平面向量专题复习

一.高考考试内容及要求：

1.三角函数考试要求：

（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义；

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义；

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示；（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。 2. 平面向量考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； （2）掌握向量的加法和减法；

（3）掌握实数与向量的积，理解

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

第一讲 三角函数的图象与性质

1．任意角的三角函数

y

(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. x(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2． 正弦、余弦、正切的图象及性质 函数 性质 定义域 y＝sin x R y＝cos x R y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2图象 值域 [－1,1] 对称轴：x＝kπ＋对称性 π2[－1,1] 对称轴：x＝ R ?kπ，0?(k∈Z) 对称中心：kπ(k∈Z)；对称中心： ?2?(k∈Z)；对称中心：π(kπ＋，0)(k∈Z) 2(kπ，0)(k∈Z) 2π 2π 单调减区间 π3π[2kπ＋，2kπ＋] 22π 周期 单调性 单调增区间[2kπ－ππZ) ，2kπ＋](k∈Z)； (k∈22单调增区间 单调增区间 ππ(kπ－，kπ＋)(k∈Z) 22[2kπ－π，2kπ]( k∈Z)； 奇偶性 奇 偶 奇 3． y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

π3π

(1)五点作图法：五点的取法：设X＝ωx＋φ，X取0，，π，，2π时求相应的

平面向量与三角函数的交汇

1.（2013江苏T15）已知a＝(cos ,sin )，b (cos ,sin )，0 ．

（1）若|a b|

（2）设c (0,1)，若a b c，求 , 的值． ，求证：a b； 2.（2012江苏T15）在 ABC中，已知AB AC 3BA BC．

（1）求证：tanB 3tanA （2

）若cosC

求A的值．

3. 设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

π4．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．(1)若x＝a与c6

π9π 的夹角；(2)当x∈ b＋1的最大值，并求此时x的值． 2，8 时，求函数f(x)＝2a·

5. 已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，

且p与q是共线向量．

C－3B(1)求A的大小； (2)求函数y＝

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

三角函数与平面向量

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期

■

三角函数与平面向量交汇的试题屡见不鲜，颇为流行，呈现方式可大（解答题）可小（填空题和选择题）. 若是小题，一般难度不大，主要考查基本概念和基本公式，是送分题；若是大题，则对基本公式的理解记忆能力、变形能力、运算能力等提出了一定的要求. ■

解答三角函数与平面向量交汇的试题时，一定要熟悉向量的数量积的定义和性质，合理选用向量数量积的运算法则构建相关等式，然后运用与此相关的三角函数知识点进行解题，并要注意方程思想的运用. ■

■ 已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，2■·cosωx），设函数f（x）=a·b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈■，1. （1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若已知y=f（x）的图象经过点■，0，求函数f（x）在区间0，■上的取值范围. 破解思路 先通过向量数量

第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型)

一、选择题

1．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝( ) 1133A.2 B．－2 C．－2 D.2

3π???πα?5

2．若sin(π－α)＝－3且α∈?π，2?，则sin?2＋2?＝( )

????

6666

A．－3 B．－6 C.6 D.3

π

3．(2014·青岛模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2的部

?ππ?

分图象如图所示，若x1，x2∈?－6，3?，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝

??

( )

123

A．1 B.2 C.2 D.2

π

4．(2014·江西师大附中模拟)为了得到函数y＝3sin2x－6的图象，

π???只需把函数y＝3sinx－6?上的所有的点的( ) ??

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

1

B．横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

1

D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变

π??π

5．将函数f(x)＝2sin?ωx－3?(ω>0)的图象向左平移3ω个单位，得

??

π??

到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在?0，4?上为增函

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结

1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0 若O是?ABC的重心，则

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3

故OA?OB?OC?0

2）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，

tanB：tanC 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3）O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC) 若O是?ABC的外心

：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC222故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0

4）O是内心?ABC的充要条件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA

A类平面向量

命题人 胡老师

→→→→→

1．(08·全国Ⅰ)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝( ) 2152A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333[答案] A

→→→

2．已知O、A、M、B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA，λ∈(1,2)，则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线 3.(理)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是( )

5?－∞，－5? －，＋∞? A.? B.2??2??

5

－，0?∪(0，＋∞) C．{0} D.??2?

4．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是 ( ) ππππA. B. C. D. 6432

5.(理)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，且m＋n＝5，p＋q＝3，则|a＋b|的最小值为( ) A．4 B．42 C．6 D．8

6．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半

A类平面向量

命题人 胡老师

→→→→→

1．(08·全国Ⅰ)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝( ) 2152A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333[答案] A

→→→

2．已知O、A、M、B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA，λ∈(1,2)，则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线 3.(理)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是( )

5?－∞，－5? －，＋∞? A.? B.2??2??

5

－，0?∪(0，＋∞) C．{0} D.??2?

4．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是 ( ) ππππA. B. C. D. 6432

5.(理)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，且m＋n＝5，p＋q＝3，则|a＋b|的最小值为( ) A．4 B．42 C．6 D．8

6．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

第七讲 三角函数与平面向量

1、角的定义：

?正角:按逆时针方向旋转形成的角??任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角???零角:不作任何旋转形成的角

2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。

第一象限角的集合为??2k????2k??,k???

?2????第二象限角的集合为??2k?????2k???,k???

?2????第三象限角的集合为??2k??????2k????3??,k??? 2?第四象限角的集合为??2k????3?????2k??2?,k??? 2?终边在x轴上的角的集合为????k?,k??? 终边在y轴上的角的集合为????k??,k???

?2????终边在坐标轴上的角的集合为??????k??,k??? 2?3、与角?终边相同的角的集合为????2k???,k???4、已知?是第几象限角，确定

?*

n???所在象限的方法： ?n先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，

则?原来是第几象限对应的标号即为

?n终边所落在的区域。

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度