期望和方差的性质和应用

常见分布的期望和方差

x n

(0,1)

N()

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ

σ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度

概率论课件

第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

概率论课件

4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因

概率论课件

第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

概率论课件

4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因

数学期望与方差的运算性质

教程

一：复习公式

离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j

P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑

连续随机变量()()()2

,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=??

二：期望运算性质

()E aX bY c aEX bEY c ++=++

应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ?=??

１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1

由于()()1101,111,n n

i i P X P X m m ????==-==-- ? ????? ()111/n

i EX m =--，

()??????????? ??--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111

三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance

()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????

()()()()()

()()(

条件期望的性质和应用

摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。 关键词：条件期望；定义；性质；应用

条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。 1 条件期望的几种定义

1.1 条件分布角度出发的条件期望定义

从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。

由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

2011理数导学案

第十三章 第一节 排列与组合

执笔：李建军 审核：理数学备考小组

【目标与要求】（1）了解排列与组合的定义；

（2）理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数； （3）解决与排列与组合有关的应用题。 【回顾与思考】

1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量??0，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p，则不发生的概率为1?p，这时，称?服从两点分布，其中p称为__________。其分布列为： 期望E??_______；方差D??________。

kn?kCMCN?M2．超几何分布：P(X?k)?，k?0,1,nCN,m，其中m?___________。

3．二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记为_________。

kkn?kP(X?k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2，…n)，表示______________________，二项

分布的分布列为：

X 0 1 … … k … … n P 期望为EX?______________；方差为DX?_________________。 4．正态分布：

（1）正态曲线：如果总体密度

常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布

已知随机变量X的分布律为

X

10

p

p1 p

则有

E(X)=1 p+0 q=p,

D(X)=E(X2) [E(X)]

2

=12

p+02

(1 p) p2

=pq.

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,

(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,",n则

X=∑Xi

i=1

n

n

显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

所以E(X)=∑E(Xi)=np.

i=1

D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).

i=1

n

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n

( n

掺氮石墨烯的性质与应用

1 引言

石墨烯是一种理想的二维材料，石墨烯中碳原子的sp2杂化结构使石墨烯具有理想的二维结构，它极大的比表面积(2630 m2/g)1,高热传导性(～5000 W/mK)2，良好的化学稳定性以及较低成本等使它成为复合材料的理想载体。目前已得到不同形态的石墨烯，包括二维结构的石墨纳米片(GNSs)3-5、一维结构的纳米条带(GNRs)、零维结构的量子点(GQDs)6,7，GNRs和GNDs的性质可以通过它们的大小和边缘进行调节。然而，由于石墨烯没有能带间隙8，使得其电导性不能像传统的半导体一样完全被控制，而且石墨烯表面光滑且呈惰性，不利于与其他材料的复合，从而阻碍了石墨烯的应用 。

对石墨烯进行功能化——合成石墨烯衍生物、表面官能团化、化学修饰、化学掺杂等,可以实现石墨烯及其相关材料更为广泛的应用9,10。其中,化学掺杂能够有效地调节其电子结构,改善其物理化学性质,从而优化了石墨稀多方面的性能,具有广阔的应用前景。由于N原子具有与C原子近似的原子半径,可以作为电子供体以取代的方式对石墨烯进行掺杂,且生成的N掺杂石墨稀表现出诸多优良的性能,如打开能带隙并调整导电类型，改变石墨烯的电子结构11，提高石墨烯的自由载流子密度

掺氮石墨烯的性质与应用

1 引言

石墨烯是一种理想的二维材料，石墨烯中碳原子的sp2杂化结构使石墨烯具有理想的二维结构，它极大的比表面积(2630 m2/g)1,高热传导性(～5000 W/mK)2，良好的化学稳定性以及较低成本等使它成为复合材料的理想载体。目前已得到不同形态的石墨烯，包括二维结构的石墨纳米片(GNSs)3-5、一维结构的纳米条带(GNRs)、零维结构的量子点(GQDs)6,7，GNRs和GNDs的性质可以通过它们的大小和边缘进行调节。然而，由于石墨烯没有能带间隙8，使得其电导性不能像传统的半导体一样完全被控制，而且石墨烯表面光滑且呈惰性，不利于与其他材料的复合，从而阻碍了石墨烯的应用 。

对石墨烯进行功能化——合成石墨烯衍生物、表面官能团化、化学修饰、化学掺杂等,可以实现石墨烯及其相关材料更为广泛的应用9,10。其中,化学掺杂能够有效地调节其电子结构,改善其物理化学性质,从而优化了石墨稀多方面的性能,具有广阔的应用前景。由于N原子具有与C原子近似的原子半径,可以作为电子供体以取代的方式对石墨烯进行掺杂,且生成的N掺杂石墨稀表现出诸多优良的性能,如打开能带隙并调整导电类型，改变石墨烯的电子结构11，提高石墨烯的自由载流子密度