函数极值点的导数一定为零吗

第三讲 函数的极大（小）值和最大（小）值

核心考点了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大

值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次). 会利用导数解决某些实际问题.

1. 内容梳理

函数的极值与极值点的定义：已知函数y?f(x)，x0是定义域(a,b)内任意一点，若对

x0附近的所有点x, 都有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），则称函数f(x)在点x0处取极大

（小）值，并称x0为极大（小）值点. 函数f(x)的最大（小）值是函数f(x)在指定区间的最大（小）值.

利用导数求函数极值的方法：(1)求导数f?(x)；(2)求方程f?(x)?0的所有实数根； (3)考查在每个根x0附近，从左到右，若f?(x)的符号由正变负（由负变正），则f(x0)是极大（小）值. 若在x0附近的左右两侧符号不变，则f(x0)不是极值.

利用导数求函数最大（小）值的步骤：求函数f(x)在开区间(a,b)内使f?(x)?0的点；计算f(x)在开区间(a,b)内使f?(x)?0的所有点和区间(a,b)端点的函数值，其中最大（小）的一个为最大（小）值.

利用导数判定函数的

3.3.2函数的极值与导数

班别:＿＿＿＿ 组别：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 评价：＿＿＿＿

【学习目标】

1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

☆预习案☆ （约 分钟）

依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。

【知识要点】 （阅读课文93—96页，完成导学案） 1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点

如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0 ， 而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值与极大值点

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大 ， f′(b)＝0 ，而且在点x＝ b附近的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为

3.3.2函数的极值与导数

班别:＿＿＿＿ 组别：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 评价：＿＿＿＿

【学习目标】

1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

☆预习案☆ （约 分钟）

依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。

【知识要点】 （阅读课文93—96页，完成导学案） 1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点

如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0 ， 而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值与极大值点

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大 ， f′(b)＝0 ，而且在点x＝ b附近的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为

建三江一中导学案 （高二数学）

编号：5 授课教师 备课时间 课 题 【学习目标】 1.知识与能力：了解函数在某点的极值的定义，掌握函数极值的求法 2.过程与方法：通过对具体实例的分析，掌握极值的意义和利用导数求极值的方法和步骤 3.情感态度与价值观：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，提高分析问题和解决问题的能力 【学习重点难点】重点：函数极值的概念与求法． 难点：函数极值的求法． 【学法指导】 1．曲线在极值点处切线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正，据此得到可导函数极值的概念．对此概念的几点说明如下： (1)函数f(x)在点x0及其附近有定义，是指在点x0及其左右邻域都有意义． (2)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的． (3)极值总是函数f(x)定义域的某个开区间内的点，因而端点绝不是函数的极值点． (4)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小． 2．极值点与导数

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

第三节

导数与函数的极值、最值

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双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

一、函数的极值1.定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，

都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0);如果对x0附近所有的点，都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数 2.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根x0;(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右

f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值和极小值统称为极值.

的符号；“左正右负” f(x)在x0处取极大值；“左负右正” f(x)在x0处取极小值(注：导数为零的点未必是极值点).

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

3.特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，

而不仅是f′(x0)=0,f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′

导数与函数极值和最值

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大，

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如果

左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正，那么f(x)在这

个根处取___

北京四中呼市分校

高中数学备课组

《3.3.2利用导数研究函数的极值训练题2》

一．选择题 1. 下列命题中真命题是( ) A．函数的最大值一定不是该函数的极大值 B．函数的极大值可以小于该函数的极小值 改错及反思 装C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D．函数在开区间内不存在最大值和最小值 2. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( ) A．0≤a<1 B．0

北京四中呼市分校

高中数学备课组

《3.3.2利用导数研究函数的极值训练题2》

解答题（要求写出具体解题过程）. 1. 已知函数f(x)＝x－ax－3x(a∈R)． (1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围； 32改错及反思 装1(2)若x＝－是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，a]上的最大值． 3 2. 设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处 的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3

对一道高考函数与导数解决零点问题的思考

题目：[2014年Ⅱ21]已知函数f(x)=x3?3??2+????+2，曲线y=f(x)在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2. （1）求a；

（2）证明：当k?1时，曲线y=f(x)与直线y?kx?2只有一个交点 解：(Ⅰ) f′ x =3x2?6??+??,??′ 0 =??，

曲线y=f(x) 在点 (0,2)处的切线方程为y=ax+2． 由题设得?a=?2，所以a=1．

(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，f(x)=x3?3??2+??+2． 设g(x)=f x ?kx+2=x3?3??2+ 1??? ??+4 ． 由题设知1-k>0 ．

当x≤0 时，g′ x =3x2?6??+1???>0,g(x)单调递增， g(-1)=k-1<0,g(0)=4，所以g(x)=0 在 (-∞,0]有唯一实根． 当 x>0时，令h(x)=x3?3??2+4 ，则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x)．

h′ x =3x2?6??=3?? ???2 ,?(??)在 (0,2)上单调递减，在 (2,+∞)上单调递增，所以 g(x)=0在 (0,+∞)上没有实根．

这里也可以用h(x)=x3?3??2+4= x+1 x?2 2≥0，(x>0)简化证明g(x) >h(x)≥0。 综上，

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,

高三数学第一轮复习 学案 8月 日

第十一讲 导数在函数的单调性、极值、最值中的应用 姓名_________

一、知识梳理： 1．单调性与导数

1）① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数； 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在

?a,b?上恒成立；

f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立。

2）求函数f(x)的单调区间的步骤：

① ；② ；③ ．④ ． 2．极值与导数

1） 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 2)如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 3)如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 。

注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值