周期函数的性质总结

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

第44卷第7期2010年7月

电力电子技术

Power Electronics

Vol.44，No.7July 2010

基金项目：国家自然科学基金（60436030）定稿日期：2010-05-27

作者简介：郭海燕（1974-），女，四川广元人，博士，研究方向为电力电子技术及智能功率集成电路。

1引言

当今电子技术朝着高功率密度、高频率、小型化

的方向发展，开关功率变换器的电磁干扰（EMI ）

问题日益显著。近几年提出了一些新的降低电路EMI 的解决方法，例如改进电路结构，消除谐波，有源d u /d t 控制算法，通过加耦合电容和使用各种扩频调制技

术来降低电路的EMI [1-5]。

其中，扩频调制技术仍是降EMI 的主流技术，扩频技术最先应用于通讯和微处理系统。九十年代中期，F Lin 和D Y Chen 将扩频技术应用于开关功率变换器来降低其传导EMI 水平，效果良好。接着各种各样的调制模式也相继出现，例如周期调制、混沌调制、随机调制等。其中周期函数调制相对随机调制和混沌调制可控性更好。分析了常用的几种周期函数频率调制方式，并详细讨

论了调制波形、

调制系数、调制波频率等重要调制参数的选择对抑制开关功率变换器电路传导EMI 的

影响。推导了占空比的选择与抑制电路传

第十五章

第二节 一般周期函数 的傅里叶级数一、周期为2l 的函数展开成 傅里叶级数 二、定义在[-l, l ]和[0, l ]区间上 的函数展开成傅里叶级数

一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数T 2l x l t T 2π l t ) (t ) 展开 思路： f ( x ) f ( t [ , ] x [ l , l ] f ( x) n x l n x l (t

xl

)

1 an ( n 0 , 1 , 2 , ) ( t ) cos nt d t π l 1 n x x 1 l 1 n f (x x )) cos x d x ( n 1 , 2 , ) bn ( t sin nt d t f ( ) cos d l l l l l l

bn

1

(t ) sin nt d tl

( n 1 , 2 , )

x t l 1

l

n x f ( x ) sin dx l l

1 l n x f ( x ) sin dx l l l

定理4 (展开定理)

设周期

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

习题11 8

1 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)

(1)f(x) 1 x2( 1 x 1

2

2

解 因为f(x) 1 x2为偶函数 所以bn 0(n 1 2 ) 而 a0 2 2(1 x2)dx 4 2(1 x2)dx 11

01/206 an 2 2(1 x2)con xdx

1/201/2 4

1

2(1 0

11

1

x)cos2n xdx

2

( 1)n 1n

2

2

(n 1 2 )

由于f(x)在( )内连续 所以

111

f(x) 2

12

( 1)n 1

n2

cos2n x x ( )

n 1

x 1 x 0 1

(2)f(x) 1 0 x

2

1

1 x 1

2

解 an f(x)dx xdx dx 1dx 1

1

1

2

10

1

20

1

2

an f(x)cosn xdx xcosn xdx

1

1

10

1

2c0

osn xdx 1cosn xdx

2

1

212[1 ( 1)n] 2sin (n 1 2 )

第 1 页 共 10 页

函数的基本性质

①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性与f(x)相同， 一、函数的单调性

函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）

定理1：x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x?x?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

12(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x?x?0?f(x)在?a,b?上是减函数.

12定理2：（导数法确定单调区间） 若x??a,b?，那么

f??x??0?f(x)在?a,b?上是增函数； f??x??0?f(x)在?a,b?上是减函数.

1.函数单调性的判断(证明)

(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法

2.复合函数的单调性的判定

对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数

u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单

调性，则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单

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函数的基本性质

①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性与f(x)相同， 一、函数的单调性

函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）

定理1：x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x?x?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

12(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x?x?0?f(x)在?a,b?上是减函数.

12定理2：（导数法确定单调区间） 若x??a,b?，那么

f??x??0?f(x)在?a,b?上是增函数； f??x??0?f(x)在?a,b?上是减函数.

1.函数单调性的判断(证明)

(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法

2.复合函数的单调性的判定

对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数

u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单

调性，则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单

教学过程： 一、幂函数

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如y x （x R）的函数称为幂函数，其中x是自变量， 是常数； ⑵y x,y x,y x等都是幂函数，在中学里我们只研究 为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像

2

13

14

x

12

x 1

⑵归纳幂函数的性质： ① 当 0时：

ⅰ）图象都过 0,0 , 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且 越大，上升速度越快。 ⅲ）当 1时，图象下凸；当0 1时，图象上凸。

② 当 0时： ⅰ）图象都过 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且 越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：

[键入文字] [键入文字]

14

[键入文字]

例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）y x （2）y x （3）y x 3 （4）y x 2

例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）2,3 ；（2）3.14与

1

6

164

34

34

；（3）( 0.88)与( 0.89)．

34

34

23

34

32

38

5353