苏教版高中数学空间向量

空间向量与立体几何

高二数学空间向量测试题

第Ⅰ卷

一 选择题

1、在下列命题中：

①若向量a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若向量a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面； ③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc． 其中正确命题的个数为 （ ）

A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD中，,,,则CD ( )

A．

B.

C．

D．

A．

62636465 B. C. D. 7777

9、在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC 二面角B－AD－C的大小为

( )

1

AB，这时2

A．60°

B．45° C．90°

D．120°

10、矩形ABCD中，AB＝1，BC

的角是( ) A．30°

B．45°

2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面A

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）

? 教学内容解析：

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。

向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。

? 学情分析：

1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）

? 教学内容解析：

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。

向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。

? 学情分析：

1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座36）—空间向量及其应用

一．课标要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二．命题走向

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

课题:2.2.3向量的数乘（1） 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【学习目标】 1、理解向量数乘的含义，掌握向量数乘的运算律； 2、理解数乘的运算律与实数乘法的运算律的区别与联系。 【课前预习】 1、质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用3a来表示； 提问：这里是何种运算的结果？ 2、向量数乘的定义：一般地，实数?与向量a的积是一个__________，记作_________，它的长度和方向规定如下： （1）|?a|?__________________； （2）当??0时，?a与a方向________；当??0时，?a与a方向___________；????????????当a?0时，?a?___________； 当??0时，?a?____________。 3、实数与向量相乘，叫做向量的数乘。 注意：向量数乘的结果是一个向量。 4、向量数乘的运算律 (1)?(??a)?___________； （2）(???)a? ___________； （3）?(a?b)?____________。 【课堂研讨】

第4课时 空间向量与空间距离(选学)【课标要求】 1.理解点到平面的距离的概念. 2.能灵活运用向量方法求各种空间距离. 3.体会向量法在求空间距离中的作用.

【核心扫描】1. 两点间的距离，点到平面的距离.(重点) 2. 两异面直线间的距离，线面距、面面距向点面距的转 化.(难点)课前探究学习 课堂讲练互动

自学导引空间中的距离

课前探究学习

课堂讲练互动

想一想：在求两条异面直线间的距离，直线到平面的距 离，两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求解 吗？

提示

能.因为直线与平面平行，两个平面平行时，直线

上的点或其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相 等，而两条异面直线可以构造线面平行，所以在求以上距

离时均可转化为点到平面的距离.

课前探究学习

课堂讲练互动

名师点睛点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α,垂足为 O,则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度. 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，|BO|=|BA|·cos∠ABO=

→

→

|BA|·|BO|·cos∠ABO .如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法 → |BO|

→

→

→ |AB·n| 向量的方向，可以得到 B 点