高代试题(上册)

高等代数期末复习试题 学校：天水师范学院 班级：11级数应2班 姓名：杨明明

向量空间

一 判断题

(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: k????,k?R, 作成实数域R上

的向量空间. ( ) .

(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: k???0,k?R, 作成实数域R上

的向量空间. ( ).

(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是V3的子空间. ( ). (4) 所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间Mn(R)的子空间. ( ).

nn(5) {(x1,x2,?,xn)|?xi?1,xi?R}为R的子空间. ( ).

i?1(6)所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间Mn(R)的子空间.

《高等代数I》练习卷

一、判断题

1.若?是多项式f(x)的k(k?2)重根的充要条件是?是多项式f?(x)的k-1重根。 （ ） 2. 设p(x)不可约，若p(x)不是f(x),g(x)的公因式，则p(x)不是 f(x)g(x)的因式。 （ ） 3. 若?1,?2,?,?s 与?1,?2,?,?s,?等价，则?可由?1,?2,?,?s线性表出。

4.n阶方阵A可逆的充要条件是A为一系列初等矩阵的乘积 （ ） 5. 零次多项式只能整除零次多项式。 （ ） 6. 设n阶方阵A，B为对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。 （ ）

（n?2）7若n阶行列式Dn为零，则Dn两行或两列成比例.。 （ ）

8. 非齐次线性方程组有无穷解的必要条件是其导出方程组有非零解。（ ） 9.若AX=0只有零解，则AX=b有

《代数与几何(下)》复习

一、选择题

71．下列集合中是

R3的子空间的为（ ），其中??(x1,x2,x3).

'

A.

??x3?0?;

B??x1?2x2?3x3?0?; C??x3?1?; D.

??x1?2x2?3x3?1?.

72．下列集合有（ ）个是

Rn的子空间.

w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}.

. 1 个;

AB. 2 个;

C. 3 个;

D. 4个.

75．（1）线性变换

?的特征向量之和仍为

?的特征向量；

（2）属于线性变换

?的同一特征值

?0的特征向量的任一线性组合仍是?的特征向量；

（3）相似矩阵有相同的特征多项式； （4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是AA. 1 个；

的属于

?0的特征向量. C．3 个 ；

以上说法正确的有（ ）个。 75.

B. 2 个 ；

D. 4个。

n阶方阵A. 充要条件；

具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ）

1，若已定义char s[10]；则在下面表达式中不表示s[1]的地址是（ D）。 A &s[1]B &s[0]+1C s+1 D s++ 2下面程序段的运行结果是（ D）。 char a[ ]=”language” , *p A B C D LANG

3下面能正确进行字符串赋值操作的是( C )

A char s[5]={'A','B','C','D','E'}; B char s[5]={\ C char *s ; s=\D char *s; scanf(\

4设p1和p2是指向同一个字符串的指针变量，c为字符变量，则以下能正确执行并得到有意义的结果的赋值语句是( C )。

A p2=c; B c=*p1+*p2; C p1=p2;D c=*p1*(*p2);

5已有函数max(a,b)，为了让函数指针变量p指向函数max，正确的赋值方法是( C )。 A *p=max(a,b);B *p=max; C p=max;D p=max(a,b);

6以下正确的叙述是( B )。

A C语言允许main函数带形参，且形参个数和形参名均可由用户指定 B当main函数带有形参时，传给形参的值只能从命令行中得到 C若有说明: i

浙 江 大 学

二〇〇〇年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目： 高等代数

一、（20分f(x)是数域P上的不可约多项式．

（1）g(x)?P[x],且与f(x)有一个公共复根，证明f(x)g(x)． （2）若c及

11都是f(x)的根，b是f(x)的任一根，证明也是f(x)的根． cb二、（10分）计算行列式

210?000121?000012?000Dn????????．

000?210000000??102112三、（20分）（1）A是正定阵，C是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P使得P?1AP,P?1CP 同时为对角形．

（2）A是正定阵，B是实矩阵，而AB是实对称的，证明：AB正定的充要条件是B的特 征值全大于0． 四、（20分）设n维线性空间V的线性变换A有n个互异的特征值，线性变换B与A可交 换的充要条件是B是E,A,A,?,A2n?1的线性组合，其中E为恒等变换．

n?1五、（10分）证明：n阶幂零指数为n?1的矩阵都相似．（若A 幂零指数为n?1）

?0,An?2?0，则称A的

六、（20分）设,AB是n维欧氏空间V的线性变换．对任意,??,??V，都有 (A(?),?)?(?,B(?)

高 等 代 数 专 题 研 究

期末复习指导 要点分析及典型例题

（一） 代数运算与数学归纳法 要点分析：

1. 代数运算本质上就是一种映射. 对于非空集合代数运算，则对于为a和b在

A来说，若f:A?A?A是A上的二元

A中任意两个元素a和b，有唯一确定的A中的元素f(a,b)与之对应. f(a,b)即

f所定义的运算下得到的结果. 当a和b取定时，f(a,b)必须是确定的，唯一的，且属于

A.

2. 笛卡尔积能交换位置.

3. 当示集合

典型例题：

例1 用数学归纳法证明：对任意n?Z?, 都有

A?B与B?A一般不相等，只有当A?B时才相等. 它们的元素都是有序数对，不

A，B都是有限集时，A?B与B?A所包含的元素个数是相同的，都等于A?B（A 表

A的元素个数）.

4. 数学归纳法由两个环节组成，递推起点和归纳假设. 在证明问题时，二者缺一不可.

1111???????1? （1.1） 1?22?3n?n?1?n?1证明：当n?1时，（1.1）式右边?1?1111?，左边??，故n?1时，（1.1）式成立. 1?121?22现设（1.1）式对n成立，考虑n?1的情形.

第一章 多项式

知识点考点精要

一、一元多项式的概念与运算 1、定义 形式表达式

f(x)?anx?an?1xnn?1?...?a1x?a0 ( 1 )

称为数域P上的一元多项式，其中a0,a1,...,an?1,an全属于数域

P，n为非负整数。

数域P上的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记为P[X]。

2、多项式的次数

n在( 1 )式中，如果an?0，那么anx称为多项式（1）

的首项，n称为多项式（1）的次数，记为??f?x???n。

f?x??c,(c?P,c?0)称为零次多项式。

f?x??0称为零多项式，它是唯一不定义次数的多项式。

3、一元多项式的运算及性质 1）加（减）法：设

f(x)?anx?an?1xmnn?1???a1x?a0，

???b1x?b0是数域P上的两个

g(x)?bmx?bm?1xm?1一元多项式。则

f(x)?g(x)?(an?bn)x?(an?1?bn?1)x

1

nn?1???(a1?b1)x?(a0?b0)。

2）乘法：设

f(x)?anx?an?1xmnn?1???a1x?a0， ???b1x?b0是数域Pg(x)?bmx?bm?1xm?1上的两个

一元多项式。则

f(x

高等代数2复习 试卷A

第一大题 填空题（每题2分 共16分）

1. t满足 时

二次型f(x1,x2,x3)?t(x12?x22?x32)?4x1x2?4x2x3?4x1x3是正定的. 2. 在

的过渡矩阵为 .

3. 数域P上全体n阶矩阵组成的线性空间是 维的.

?123??0?1?24. 线性变换?在某基下的矩阵为A????, 向量??002???F3中,从基?1?(

基,0),1,0?2,?0),?3?(0到,1(?1,??1?,??2??1?在此

基下的坐标

?1??1为???, 那么?(?)的坐标是 . ?1???5. 设A是正交矩阵，且|A|?0，则|A?1|2013= . 6. 用g(x)?x?2除f(x)?3x4?10x2?5x?4，

商式为 ；余式为 . 7. 设

p(x)与q(x)都是不可约多项式，已知p(x)|q(x)，则

p(x)? . 8. 设?,?正交, ?为正交变换, 那么(?4?(?),5

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的