线性代数第一章行列式

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§1.4

行列式按行(列)展开 a1n a2n 则 a nn

a11 a12 a a 设 D 21 22 a n1 a n 2

D i j a i1 A j1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 i j D i j a1i A1 j a 2 i A2 j a ni Anj 0 i j

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定义1 3(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D |aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij 令 Aij ( 1)i jMij Aij称为元素aij的代数余子式 例如 四阶行列式a11 a 21 D a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

在D中 a32的代数余子式是A32 ( 1) 3 2 M 32 a11

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§1.4

行列式按行(列)展开 a1n a2n 则 a nn

a11 a12 a a 设 D 21 22 a n1 a n 2

D i j a i1 A j1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 i j D i j a1i A1 j a 2 i A2 j a ni Anj 0 i j

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定义1 3(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D |aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij 令 Aij ( 1)i jMij Aij称为元素aij的代数余子式 例如 四阶行列式a11 a 21 D a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

在D中 a32的代数余子式是A32 ( 1) 3 2 M 32 a11

第一章 行列式1.3 克莱默(Cramer)法则 克莱默(Cramer)法则

如何求解一个n元一次线性方程组？ 如何求解一个n元一次线性方程组？ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 , m 和n不一定相等。 不一定相等。 L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm 特别的当 m = n时，方程组为

a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 。 L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn xn = bm

a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 设非齐次线性 线性方程组 定理 设非齐次线性方程组 LLLLLLLLLLL 或简记为 a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn n

克拉默(Cramer)法则 克拉默(Cramer)法

厦门理工

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式15x3??2 = 0，则x? [ C ]

25（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

??x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?4?2?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶

2010智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数（第一章 行列式）

7152211ca300a6c30c229f3f

序

本书吸取了目前市面上绝大部分优秀考研数学辅导资料的精华，近年来，得到了全国广大学子的高度认可，其使用效果尤其受到2009考生的推崇。这是一本含金量较高、适应国家命题数学1-3类和农学类数学及各校自主命题的数学甲乙AB的考研全面基础延展复习与综合强化提高的复习全书。

作者系统地总结了原创性秘技，采用了形象记忆法等先进教育心理学理念，有意识训练读者的数学思维惯性和条件反射；对三基的延拓系统完整；同时，奉献了读者渴望的评注，蛰伏5年成书；2010版在2009版基础上，根据全国广大读者的建议和教育部新的趋向，对相关内容作了大篇幅修改和完善。主要包含下列方面：

1．根据使用2009版考生的建议和提出的不足，精心审阅笔误和校对各知识点的叙述方式。

2．把原有的例题，按照题型全部重新整编分类，并总结系统的解答方法。

3．删除原有的难度较大、而考研命题相关性不紧密的例题，增加2010的新的变式和预测题型。

4．进一步吸收了我国新出台的优秀辅导资料的精髓，增加了新的技巧和方法。

5．增删了章节后的模拟练习题，并给出了难题的详细解析。

6．对部分题例的解析更

第一章 行列式

一、教学目的：掌握行列式的概念；

熟练掌握行列式的性质及计算方法； 利用克莱姆法则解线性方程组。

二、学时分配：

三、重点、难点：熟练运用行列式的性质，掌握行列式计算的方法 四、作业：

§1 n阶行列式

定义：一阶行列式就是元素自身，当n>1时规定n阶行列式为： |a11|?a11，

a11a21?an1a12a22?an2?a1n??ann??aijAij j=1,2,?，n;

j?1n?a2na11a12a22?an2?a1n???aijAij j=1,2,?，n;

i?1n或

a21?an1?a2n?ann

其中Aij?(?1)i?jMij称为元素aij的代数余子式；Mij是从n阶行列式中划去aij的所在的行和列得到的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式。

按此定义计算行列式的方法通常称为拉普拉斯（laplace）展开法，可以简述为：n阶行列式等于任一行（列）元素与其代数余子式乘积之和。

例1 计算对角形行列式

1

a1a2?ana1和

ana2?

其中未写出的数都是零。

解：依行列式的定义，按第一行依次展开，

a1a2?ana1a2?an?(?1)(n?1)?n???3a1a2?an ?(?1)n(n?

线性代数练习题（行列式）A

一、填空题

3?6236? 1、2?6?2300 2、

040030020010? 00)?_____________ 3、N(6312544、四阶行列式det(aij)的反对角线元素之积（即a14a23a32a41）一项的符号为 12?35. 行列式2?10中元素0的代数余子式的值为_______

34?2二、选择题 1、a11a?（ ）

Da?1

Aa?1B?a?1C1?a0101?（ ） 3、11?a111?aA1?aBaCa?1D(1?a)(1?a)

35、若41

1x0x0?0，则x?（ ） x1

Ax?0且x?2Bx?0或x?2Cx?0Dx?2

11106、11011011?（ ）

0111A2B3C?3D?1

1117、xyz?（ ） x2y2z2A(y?x)(z?x)(z?y)BxyzC(y?x)(z?x)(z?y)D

413?2333三、设行列式 D??6?1207，不计算Aij而直接证明：129?2 A41?A42?A43?2A44

x?y?z2

线性代数练习题（行列式）B

一、填空题

1、 设Aij

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于

第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式153??2 = 0，则x? [ C ] 25x（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

??x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?4?2?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取