二元二次方程组应用题举例

源于名校，成就所托

二元二次方程组解法与应用题

【知识梳理】

一、二元二次方程和方程组

1、仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 2、关于x,y的二元二次方程的一般形式是: ax?bxy?cy?dx?ey?f?0(a,b,c,d,e,f为常数)其中,ax,bxy,cy叫做这个方程的二次项,a,b,c分别叫做二次项系数; dx,ey叫做这个方程的一次项,d,e分别叫做一次项系数;f叫做这个方程的常数项.

3、使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解

4、由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组

5、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解

6、解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.

7、对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法 二、应用题

1、在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解.

21.6（2）二元二次方程组的解法

教学目标

1、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；

2、在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路是“降次”；

3、通过对二元二次方程组解法的剖析，领悟事物间可以相互转化的数学思想； 教学重点及难点

会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；

正确分析方程组的特点，从而找到合理的解法．

教学媒体：多媒体

教学过程设计

一、 复习引入

我们已经会用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组

x 3y 4练习：解方程组： 2 2x 2y 1

这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

二、学习新课

22 x 3xy 2y=0 (1)1、观察：方程组 2 2 x y 5 (2)

（1）能直接使用“代入消元法”解答吗？

（2）方程组中的两个方程有什么特点？

学生思考作答，教师进行指导和补充.

【说明】前一节课有对特殊方程进行因式分解的例子，所以在直接用“代入法”解决未果的情况下，学生会想到将方程（1）进行因式分解，但后面的操作就需要教师的指导和教授了.

解：将（1）左边分解因式，可变形为 x y x 2

个性化学案 一元二次方程 适用学科 适用区域 知识点 数学 全国 适用年级 课时时长（分钟） 初中一年级 60 列方程（组）解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。 综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 学习目标 （－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题． 个性化学案 （二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力． （三）德育渗透点：

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一元二次方程解应用题专题

列方程解应用题的步骤为：

1．审题；目的是审清题目中的已知量和求知量。 2．设未知数；包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程；

5．判断解是否符合题意；

一、面积问题：

关于面积问题一般都是画出平面示意图，结合图形，利用“数形结合”的思想，来解决实际问 题, 对于图形进行平移是常用的方法。（同时还要注意验根）

例 1: 如图，在宽 20 米，长 32 米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路 ( 两条纵向，一条横向，并

且横向与纵向互相垂直 ) ，把这块耕地分成大小相等的六块试验田， 要使试验田的面积是 570 平方米，

问道路应该多宽 ?

例 2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18m），另三边用木栏围成，

木栏长 35m。①鸡场的面积能达到 150m 2

吗？②鸡场的面积能达到吗？如果能， 请你给出设计方 案；如果不能，请说明理由。（ 3）若墙长为 am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度 a m对题目的

解起着怎样的作用 ?

作业：1. 一块长和宽分别为 40 厘米和 25 厘米的长方形铁皮， 要在它的四角截去四个相等的小正 方形

篇一：《一元二次方程》应用题的几种类型

《一元二次方程》应用题的几种类型

一． 传播问题： 公式：(a+x)n

=M 其中a为传

染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

二、循环问题 又可分为单循环问题1/2n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3)

3．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?

参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比

赛，共有多少个队参加比赛？

6.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?

7.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？

三、平均率问题 M=a(1±x)n

， n为增长或降

低次数 , M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率

5.

8.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年

二元一次方程组应用题

【例题选讲】 例1：（利息问题）

李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可

得利息43.92元。已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是多少？（注：公民应交利息所得税＝利息金额?20％）

分析：利息问题是一个实际应用问题，一定要结合实际来理解掌握，如：一般说来，利息要

交20%的利息税，但是教育储蓄和国库券等一些特殊形式的储蓄是无须交利息税的。本题中需要求的是两个量，因此直接设两个未知数，从而列出方程组来解决。相等关系是：①两种储蓄的年利率的和=3.24%，②两种储蓄的利息和=43.92元。 解：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，存1000元的这种储蓄的年利率是y，

根据题意得：??x?y?3.24%

(2000x?1000y)?(1?20%)?43.92??x?0.0225

?y?0.0099解这个方程组得：?答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。 注意：本题也可以列一元一次方程来解决：

解法2：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，则存1000元的这种储蓄的年利率是

3.24%?x，

根据题意

知识点：二元一次方程组的概念及解法:代入法和加减法 二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：

1、 审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 审题，寻找等量关系） 2、 考虑如何根据等量关系设元，列出方程组． （设未知数，列方程组） 3、列出方程组并求解，得到答案． （解方程组）

4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意． （检验,答）

例】今有鸡兔同笼，数头35个，数腿94条，问鸡、兔各有多少只？

分析：两个相等关系：①鸡头＋兔头＝总头数；②鸡腿＋兔腿＝总腿数。 解析：设鸡有x只，兔有y只。

由题意可列方程组? 答：鸡有 只，兔有 只。

? ? ?35?x? 解得?

? ? ?94?y? 相似题：

鸡兔同笼问题（1）

1、野鸡和兔子共有39只，它们的腿共有100条，求野鸡和兔子各有多少只。

2、已知板凳和木马共有33个，腿共有101条。板凳和木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）

3、某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演。其中成人票每张8元，学生票每张5元，共售出10

1.两个连续基数的积是323，求这两个数。 (2n-1)(2n+1)=323 4n^2-1=323 n^2=81 n=9

2.一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3600元这两个月的利润平均月增长率是多少？

2500(1+x)^2=3600 x=20%

3.一辆小轿车新置是价是18万元，若使用第一年后折旧20%，以后其折旧率改变，现知第三年末这辆轿车折旧后值11.664万元，求这辆轿车在第二、三年中的平均年折旧率？ 18*(1-20%)*(1-x)^2=11.664 x=10%

4.200+200(1+x)+200(1+x)^2=1400 1+1+x+1+2x+x^2=7 x^2+3x-4=0 (x+4)(x-1)=0 x=-4（舍） x=1

即增长率是100%

1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10

∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-

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实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；

；

；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×

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实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；

；

；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×